Этюды по истории поведения - страница 60
Любопытно отметить, что при помощи таких специфических вспомогательных средств происходит не только простой счет, но и довольно сложные арифметические операции. Вертгеймер сообщает о замечательном способе счисления, который был найден у курдов на русско- персидской границе. Не владея еще абстрактной операцией счета, курды умножают следующим образом. Числа от 6 до 10 изображаются пригибанием одного, двух, трех, пяти пальцев (подразумевается: плюс пять). Умножение от 5 × 5 до 10 × 10 производится так, что согнутые пальцы складываются как десятки, а вытянутые умножаются как единицы.
Например, нужно умножить 7 × 8. На одной руке загнуто два пальца (2 + 5 = 7); на другой — три (3 + 5 = 8). Приложить одну руку к другой, сложить загнутые пальцы (2 + 3 = 5), умножить вытянутые — шесть единиц (2 × 3 = 6). Результат — 56.
Леруа указывает на то, что и у культурных народов встречаются числовые множества или нумерические образы (век, год, неделя, месяц, эскадрон — все это нумерические образы). «Чем, — спрашивает он, — слово фиджи „кого“, означающее „сто кокосовых орехов“, более примитивно, чем слово „век“, означающее „сто лет“?» У нас 10 солдат, идущих отдельно, — это 10 человек, а с капралом в строю — взвод: в этом примере Леруа видит аналогию с тем, что в примитивных языках число «описывает специальные обстоятельства» счета.
Основной вывод этого автора является, на наш взгляд, бесспорным: нельзя сравнивать счисление примитивов со «счислением» животных, т. е. нельзя сводить к непосредственному восприятию количеств всю примитивную арифметику. Самое характерное для этой арифметики заключается в том, что это «эмбриональное счисление, для того чтобы перейти за определенные границы, должно всякий раз прибегать к помощи конкретной мнемотехники» (употребление пальцев, палочек). Соединение натуральной арифметики (непосредственное восприятие количеств) с мнемотехнической составляет самую характерную черту примитивного счисления. Леруа справедливо сравнивает эту арифметику со счетом у неграмотных и с пользованием наглядными числами (диаграммы) у нас.
Дальнейшее развитие «культурной математики» теснейшим образом связано с эволюцией знаков и способов их употребления. Это приложимо не только к низшим, но и к самым высшим ступеням развития научной математики. Ньютон, объясняя сущность алгебраического метода, говорил, что для решения вопросов, относящихся к числам или отвлеченным отношениям величин, требуется только перевести задачу с английского или другого языка, на котором она предложена, на язык алгебраический, способный выражать наши понятия о соотношении величин.
Эту роль знаков как орудий прекрасно отмечает Шереметьевский в своем очерке «История математики». «Что касается, — говорит он, — собственно математического анализа, то одна характерная особенность обращает его в настоящую машину мысли, исполняющую ее работу с быстротой и точностью, свойственной хорошо пригнанному механизму. Я говорю о приеме символического записывания всех заключений анализа с помощью алгебраического знака».
Сравнивая современную алгебру, пользующуюся этими знаками, с риторической алгеброй древних, этот автор приходит к заключению, что вся психологическая работа по решению задач перестроилась под влиянием нового способа обозначения операций. «Они были лишены, — говорит он о древних математиках, — той механизирующей рассуждение символики, которая представляет громадное преимущество современной алгебры. В их несимволизированной или риторической алгебре приходилось усиленно напрягать память и воображение, чтобы постоянно удерживать в сознании все логические нити, связывающие конечные выводы с условиями задачи. Античному математику приходилось развивать тот особый склад мыслей, который вырабатывается у шахматных игроков, ведущих партию, не глядя на доску. Там нужно было „сверхчеловеческое разумение“ для этой работы. Какой исключительной силы абстрактного мышления требовала эта работа, можно видеть из того, что Евклид не нашел себе подражателей и теория несоизмеримых 1800 лет оставалась в этой форме».