Эйлер. Математический анализ - страница 40
N.
Если мы задумаемся, то увидим, что логарифм основания всегда равен 1, и это его основополагающее свойство.
Самые распространенные основания — это а = 10,а = 2 и а- = е. Логарифмы по основанию 10 называются десятичными, по основанию 2 — двоичными, по основанию е — натуральными. Для натуральных логарифмов используется знак InN вместо log N.
Важным аспектом логарифма является то, что с его помощью упрощаются арифметические вычисления. Например:
Ν>1 · Ν>2 = a>L>1 · a>L>2 = a>L>1+L>2
⇒ log>a(N>1 · N>2) = L>1 + L>2 = log>aN>1 + log>aN>2.
Таким образом, логарифм произведения равен сумме логарифмов его множителей.
Если мы сделаем таблицу с двумя величинами, числами и десятичными логарифмами, то сможем сложить логарифмы и при помощи таблиц легко узнать произведение. И хотя сегодня можно без труда произвести умножение электронными калькуляторами, во времена, когда они еще не существовали, операция, помогающая заменить сложные расчеты в случаях произведений больших величин на простое сложение, имела огромное практическое значение.
Проследим за хитроумными рассуждениями Эйлера, но не будем забывать, что в некоторых местах они должны быть доработаны. Позже это сделал сам ученый. Возьмем знаменитый ряд Тейлора:
sinx = x - x>3/3! + x>5/5! - x>7/7! + ...
Мы знаем, что он равен нулю при х равном нулю, то есть если sinx = 0, когда х = 0, ± π, ±2π, ±3π...
Следовательно, предположив, что ряд ведет себя как многочлен, поскольку он и является длиннейшим многочленом, применение фундаментальной теоремы алгебры преобразит его в произведение одночленов вида х - α, где α — решение. Продолжим:
x - x>3/3! + x>5/5! - x>7/7! + ... = K(x)(x - π)(x + π)(x - 2π)(x + 2π)...
К — неизвестная константа. Производя вычисления в правой части равенства:
x - x>3/3! + x>5/5! - x>7/7! + ... = K(x)(x>2 - π>2)(x>2 - 4π>2)(x - 9π>2)...
следует отметить, что каждый член вида х>2 - λ>2π>2 справа равен нулю. А это происходит, только если
1 - х>2/(λ>2π>2) = 0.
Запишем члены правого выражения в следующей форме:
x - x>3/3! + x>5/5! - x>7/7! + ... = K(x)(1 - x>2/π>2)(1 - x>2/4π>2)(1 - x>2/9π>2)...
Теперь разделим на x:
sinx/x = 1 - x>2/3! + x>4/5! - x>6/7! + ... = K(1 - x>2/π>2)(1 - x>2/4π>2)(1 - x>2/9π>2)...
И, поскольку lim>x→0(sinx/x) = 1, получим, что K = 1. Итак:
1 - x>2/3! + x>4/5! - x>6/7! + ... = (1 - x>2/π>2)(1 - x>2/4π>2)(1 - x>2/9π>2)...
Этот ряд равен бесконечному произведению. Для Эйлера это не проблема. Подсчитаем порядок произведения и выделим члены произведения с x>2 в правой части:
- x>2/3! = -x>2/π>2 - x>2/4π>2 - x>2/9π>2 - ...
Разделив обе части на -x>2/π>2, получим
π>2/6 = 1+ 1/2>2 + 1/2>3 + 1/4>2 + ...,
что и требовалось доказать.
Эйлер был первым математиком, доказавшим тождественность ζ($) как ряда степеней и ζ($) как бесконечного произведения. Назовем р>к простое число, занимающее место k в ряде. Получим
Ниже можно увидеть, каким образом получается это равенство:
Для тех, кто знаком со сложным анализом, дзета-функция может быть расширена до мероморфной во всей комплексной области с простым полюсом s = 1, где остаток равен 1. Это дзета-функция, о которой говорил Риман и которая стала предметом его знаменитой гипотезы.
Чтобы упростить, насколько это возможно, наше объяснение, оттолкнемся от предположения, что задействованные в нем функции удовлетворяют всем необходимым условиям на производную и непрерывность.
Обозначим через S функционал (функцию функций), к которому мы применим вариационное исчисление, а через x>1, х>2 — экстремумы неизвестной функции:
S(ƒ) = ∫>x1>x2L(x>1,ƒ(x),ƒ'(x))dx.
Предположим, что решением является ƒ>0 и что функционал имеет здесь минимум; назовем α(x) функцию (которую мы будем "варьировать"), равную нулю в экстремумах x1, х>2. Поскольку в ƒ>0 функционал имеет минимум,
S(ƒ>0)≤S(ƒ>0+εα)
в окрестности ƒ>0. Вариационный размах
ƒ = ƒ>0 + εα
должен удовлетворять:
dS(ƒ>0 + εα)/dε|ε=0 = ∫>x1>x2dL/dε|>ε=0 = 0
Теперь вспомним, что
dƒ/dε = α,dƒ'/dε = α'.
Применим правило дифференцирования и проведем необходимые замены.
Получим
dL/dε = ∂L/∂ƒ dƒ/dε + ∂L/∂ƒ' dƒ'/dε = (∂L/∂ƒ)α + ∂L/∂ƒ'α'
A теперь проинтегрируем по частям и учтем предыдущую формулу: