Исследование психологии процесса изобретения в области математики - страница 6

Оставим в стороне анкету журнала «Математическое образование». Хотя, как было сказано, в ней не проводилось надлежащего анализа значительности авторов, приславших ответы, впоследствии эта анкета стала поводом для показаний, наиболее авторитетных из всего того, что можно было надеяться получить. Процесс изобретения был проанализирован величайшим гением, которого знала наша наука за последние полвека, человеком, влияние которого чувствуется во всей современной математической науке: я говорю о знаменитом докладе Анри Пуанкаре в Психологическом обществе в Париже[11]. Наблюдения Пуанкаре пролили ослепительный свет на отношения между сознательным и бессознательным, между логикой и случайностью, отношения, которые лежат в основе проблемы. Несмотря на некоторые возражения, которые мы обсудим в подходящий момент, выводы, к которым он пришёл в этом докладе, кажутся мне полностью справедливыми, и по крайней мере, в первых пяти частях я с ними полностью согласен. (Все цитаты без указания имени автора на следующих страницах взяты из доклада Пуанкаре.)

Пример, который приводит Пуанкаре, относится к одному из наиболее крупных его открытий, первому, стяжавшему ему славу, — теории автоморфных групп и автоморфных функций. Прежде всего я должен предупредить, что мы должны будем использовать технические термины, которые читатель не обязательно должен понимать. «Я скажу, например, — объясняет он, — что при таких-то обстоятельствах я нашёл доказательство такой-то теоремы; эта теорема получит какое-то варварское название, которое многие из вас не поймут, но это не важно: для психолога важна не теорема, а обстоятельства».

Итак, мы будем говорить об автоморфных функциях. Вначале Пуанкаре бесплодно в течение двух недель пытался показать, что функции этого вида существовать не могут — идея, неправильность которой была им позднее доказана.

Действительно, в течение одной бессонной ночи и при обстоятельствах, к которым мы ещё вернёмся, он построил первый класс этих функций. Затем он пожелал найти для них выражение: «Я хотел представить эти функции в виде отношения двух рядов; эта идея была совершенно сознательной и обдуманной; мной руководила аналогия с эллиптическими функциями. Я спрашивал себя, какими свойствами должны обладать эти ряды, если они существуют, и мне без труда удалось построить эти ряды, которые я назвал тета-автоморфными. В этот момент я покинул Кан, где я тогда жил, чтобы принять участие в геологической экскурсии, организованной Горной школой. Перипетии этого путешествия заставили меня забыть о моей работе. Прибыв в Кутанс, мы сели в омнибус для какой-то прогулки; в момент, когда я встал на подножку, мне пришла в голову идея безо всяких, казалось бы, предшествовавших раздумий с моей стороны, — идея о том, что преобразования, которые я использовал, чтобы определить автоморфные функции, были тождественны преобразованиям неевклидовой геометрии. Из-за отсутствия времени я ничего не проверил и, едва сев в омнибус, продолжал начатый разговор, но я уже был вполне уверен в правильности сделанного открытия. По возвращении в Кан я на свежую голову и лишь для очистки совести проверил найденный результат.

В то время я занялся изучением некоторых вопросов теории чисел, не получая при этом никаких существенных результатов и не подозревая, что это может иметь малейшее отношение к прежним исследованиям. Разочарованный своими неудачами, я поехал провести несколько дней на берегу моря и думал совсем о другом предмете. Однажды, когда я прогуливался на взморье, мне так же внезапно, быстро и с той же мгновенной уверенностью пришла идея, что арифметические преобразования тройничных неопределённых квадратичных форм тождественны преобразованиям неевклидовой геометрии».

Эти два результата показали Пуанкаре, что существуют другие автоморфные группы и, следовательно, другие автоморфные функции, чем те, которые он открыл во время своей бессонницы. Эти последние были лишь частным случаем. Теперь уже дело состояло в том, чтобы изучить самые общие случаи. При этом он был остановлен очень серьёзными трудностями, которые упорная сознательная работа позволила определить более адекватным образом, но не преодолеть. Затем, ещё раз решение пришло ему столь же неожиданным образом и без подготовки, как и в двух других случаях. Это произошло тогда, когда он отбывал воинскую повинность.