Катастрофы в природе и обществе - страница 8

, М_>c ( с означает "стационарность"), то М_>c = К_>c, и если в каком-то году популяция насчитывает в точности К_>c особей, то и в следующем году их будет столько же, и через любое время – то же число. Но, конечно, такое точное равенство бывает очень редко, а на практике К может быть близко К_>c Что произойдет в этом случае, мы увидим в дальнейшем, а пока рассмотрим популяцию, численность которой в первый год наблюдения K_>1 положительна, но меньше К_>c. Чтобы предсказать численность той же популяции в следующем году, надо воспользоваться фазовой кривой: взять на ней точку Р с абсциссой К_>1 (рис.6), и тогда ордината M_>1 этой точки даст нам прогноз численности в следующем году.

Но теперь мы можем повторно воспользоваться той же фазовой кривой и предсказать численность этой же популяции еще через год. Для этого надо взять точку кривой R с абсциссой К_>2, равной М_>1, поскольку теперь M_>1 будет численностью исходной популяции, и найти ординату М_>2 точки R: это и будет численность популяции через год после того, как она была равна М_>1. Переход от точки графика Р к точке R можно упростить, заметив, что если ОК_>2 = ОМ_>1, то на отрезках ОК_>2 и ОМ_>1 можно построить квадрат, вершина которого Q лежит на биссектрисе (так как биссектриса как раз состоит из точек, равноудаленных от осей). Чтобы найти точку Q, достаточно построить горизонтальную прямую, проходящую через точку Р, до пересечения ее с биссектрисой – как раз в точке Q. Но точка R, по ее построению, имеет ту же абсциссу К_>2, что и точка Q. Поэтому, чтобы найти точку R, достаточно провести через Q вертикальную прямую, которая пересечет график в искомой точке R.

Теперь ясно, что численность популяции через год после численности M_>1 (то есть M_>2) геометрически определяется переходом из точки графика Р в другую точку графика R, который можно выполнить по следующему правилу:

Надо провести через Р горизонталь до пересечения с биссектрисой в точке Q, а затем через Q вертикаль до пересечения с графиком в точке R.

При этом можно не строить, как на рис.6, точки K_>1, K_>2 и отрезки К_>1Р, К_>2Q: достаточно следить за ординатами М_>1, М_>2. Чтобы предсказать по численности популяции М_>1 численность ее в следующем году, достаточно построить прямоугольник М_>1QRМ_>2. Как мы увидим дальше, повторение этой процедуры позволяет предсказать развитие популяции в целом ряде случаев.

Отрезки РQ, QR образуют с биссектрисой равные углы (в 45°), так же, как это происходит при отражении от зеркала световых лучей. Отсюда ясно, почему мы назвали только что описанный прием "отражением в биссектрисе".

На рис.7 изображен важный и часто встречающийся вид зависимости М(К), при котором фазовая кривая выпукла, проходит через начало координат О и пересекает биссектрису координатного угла в единственной точке, обозначенной цифрой 1. Ясно, что начало координат, где К = М = 0, представляет собой точку равновесия популяции, но неинтересную, поскольку в ней популяция попросту отсутствует. Эта точка равновесия приобретает значение в тех случаях, когда точка кривой Р приближается к О: это значит, что популяция гибнет. Как видно из предыдущего анализа, при рассматриваемом виде фазовой кривой это не может произойти, так как с каждым годом численность ее

Рис.7

возрастает, во всяком случае, на дуге кривой выше биссектрисы: точка R всегда правее точки Р, то есть K_>2 > K_>1 (см.рис.6). Более того, из выпуклости кривой следует, что ее хорда ОР опускается при движении точки Р вправо (этот наглядно очевидный факт можно математически доказать, но достаточно взглянуть на рис.7). Тем самым, убывает наклон прямой ОР по отношению к оси абсцисс, измеряемый отношением ординаты точки Р к ее абсциссе и называемый угловым коэффициентом прямой ОР : он равен тангенсу угла между ОР и осью абсцисс и убывает вместе с этим углом). Итак, при возрастании К отношение М/К убывает. Это отношение называется коэффициентом размножения популяции; оно определяет, во сколько раз число особей в следующем поколении больше, чем в предыдущем (если М/К > 1), или меньше (если М/К < 1). Напротив, когда К уменьшается, коэффициент размножения возрастает; наибольшее значение он имеет при К = 0, то есть (биологически) при исчезающе малой популяции. Математически это наибольшее значение получается предельным переходом [Читатель, которого затруднит эта фраза, может опустить ее без вреда для дальнейшего]: когда К уменьшается до нуля, угловой коэффициент "хорды" ОР, равный М/К, стремится к пределу, который называется производной функции М(К) при К = 0 и обозначается М'(0); геометрический смысл этого предела – угловой коэффициент касательной к графику в точке О.