Логика и аргументация - страница 18

Объединением классов (или множеств) называют класс, который содержит в своем составе все элементы, входящие в каждый отдельный класс. Если обозначить отдельные классы через A_>1, А_>2, А_>3,..., А_>n, то объединенное множество можно представить как дизъюнкцию (или логическое сложение) всех перечисленных классов (или множеств):

UA_>i = A_>1U A_>2U А_>3 ... UA_>n.

Например, объединение плоских фигур будет состоять из класса треугольников, класса четырехугольников, окружностей и других фигур, класс деревьев - из классов хвойных, лиственных и других деревьев.

Пересечением (или умножением) классов называется новый класс, который содержит в своем составе те и только те элементы, которые входят в каждый из отдельных классов. Иначе говоря, он содержит элементы, общие всем отдельным классам. Поэтому сама операция пересечения классов иногда называется взятием их общей части. Обозначив отдельные классы через A_>1, А_>2, А_>3,..., А_>n, их пересечение можно представить в виде: ∧A_>i = A_>1, ∧А_>3,..., ∧А_>n, где знак ∧ обозначает операцию пересечения, умножения или конъюнкции классов.

Под обобщением понятий подразумевается операция перехода от понятий меньшего объема к понятиям большего объема, а под ограничением - обратный процесс перехода от понятий большего объема к понятиям меньшего объема. Однако в отличие от предыдущего случая отношений понятий с фиксированными объемами, при обобщении и ограничении понятий происходит также изменение содержания понятий, поскольку при обобщении некоторые признаки исключаются, а при ограничении, наоборот, прибавляются. Это непосредственно следует из закона обратного отношения между объемом и содержанием понятия.

Обобщение понятий неразрывно связано с процессом абстрагирования, в результате чего отвлекаются от тех признаков, которые в ходе познания оказываются несущественными, и потому опускаются. Процесс ограничения связан с противоположным движением мысли, который называется конкретизацией, или точнее спецификацией. Только благодаря конкретизации общие понятия можно применять для исследования частных случаев.

Наиболее ясно обобщение и ограничение понятий прослеживается в математике, причем в чистой, (теоретической) математике преобладает процесс обобщения понятий, а в приложениях математики - их конкретизация.

Хотя с логической точки зрения такие обобщения понятий представляются вполне ясными и даже очевидными, но исторически новые понятия и основанные на них теории находили признание не сразу, не без борьбы мнений и конфликтов. Достаточно лишь отметить, например, с какими трудностями ученые столкнулись при обобщении понятия числа и введении понятий иррациональных и мнимых чисел, а в недалеком прошлом - понятий о неевклидовых пространствах и бесконечных множествах. В неменьшей степени конфликты сопровождали обобщения и введение новых понятий в астрономии мира, например, гелиоцентрической системы мира (вместо геоцентрической птолемеевой системы мира), в физике, биологии и других науках.

Существуют самые разнообразные способы определения понятий, которые ориентированы на потребности исследования разных наук, но все они ставят своей целью:

1) четко отделить класс предметов определенного типа от других;

2) выявить их специфическое содержание, т.е. совокупность существенных признаков, которые присущи их элементам.

Достижение второй цели представляет наибольшие трудности, поскольку раскрытие существенных признаков предметов - процесс длительный, исторический. Сущность не лежит на поверхности наблюдаемых явлений, она постигается в результате глубокого и всестороннего их познания. При этом за сущностью первого уровня скрывается сущность второго уровня и так до бесконечности.

Кроме того, при определении понятий приходится иметь дело с существенными признаками разного рода, например, для геометрии существенными являются пространственные формы мира, для химии - состав исследуемых веществ и их превращения в результате химических реакций, для экономики - производственные отношения людей. Поскольку в различных областях познания и практической деятельности преследуются разные цели, целесообразно применять разные способы определения понятий.