Математический аппарат инженера - страница 38

(B) и P_>B(A). Иначе говоря, если события А и В несовместны, то при наступлении одного из них другое произойти не может, т.е. несовместные событие не могут быть независимыми.

Несовместность совокупности событий A_>1, A_>2, ..., A_>n, следует из их попарной несовместимости, т.е. из условия

A_>i ∩ A_>j = ∅ (i,j = 1,2,..., n; i ≠ j).

- 81 -

Однако полная независимость совокупности событий, вообще говоря, еще не определяется их попарной независимостью. Кроме условий

P(A_>i ∩ A_>j) = P(A_>i)P(A_>j) (i,j = 1,2,..., n; i ≠ j),

должны выполняться также аналогичные условия для любых сочетаний по 3, 4, ... , n событий. Например, для трех событий условие полной независимости выражается системой соотношений:

P(A_>1 ∩ A_>2) = P(A_>1)P(A_>2);

P(A_>1 ∩ A_>3) = P(A_>1)P(A_>3);

P(A_>2 ∩ A_>3) = P(A_>2)P(A_>3);

P(A_>1 ∩ A_>2 ∩ A_>3) = P(A_>1)P(A_>2)P(A_>3).

Невыполнение хотя бы одного из этих соотношений свидетельствовало бы о том, что события A_>1, A_>2 и A_>3 в совокупности зависимы. На практике, однако, попарная независимость обычно влечет за собой и независимость в совокупности.

1. Какова вероятность угадать все шесть номеров (из 49) в спортлото?

2. Из урны, содержащей 8 белых и 12 черных шаров, вынимают один шар. Какова вероятность того, что он будет белым; что он будет черны?

3. Найдите на основе рассмотрения множества событий при бросании двух игральных костей (каждая кость имеет шесть равноправных граней, пронумерованных от 1 до 6) вероятность следующих событий:

а) на одной кости четыре очка, а на другой — меньше четырех;

б) на одной кости число очков вдвое больше, чем на другой;

в) сумма очков меньше пяти;

г) сумма очков больше восьми.

4. Какова вероятность открыть замок автоматической камеры хранения при случайном наборе цифр (замок открывается только при определенных значениях четырех десятичных цифр)?

5. Оцените вероятность того, что в группе из 23 студентов, по крайней мере, у двух студентов дни рождения совпадают.

6. Партия из 10 телевизоров принимается в магазине при условии, что случайно выбранные два из них окажутся исправными. Какова вероятность того, что магазин примет партию, содержащую 4 неисправных телевизора?

7. Два стрелка проводят по одному выстрелу, причем вероятности попадания в цель для них равны соответственно 0,8 и 0,9. Найдите вероятность поражения цели обоими стрелками и вероятность поражения цели хотя бы одни из них.

8. Исследуйте на независимость события А и В при следующих испытаниях:

а) из колоды в 52 карты выбирают одну: А - «туз»; В - «бубна»;

б) бросают две игральные кости: А - «одно очко на первой кости»; В - «четное число очков на второй кости»;

в) бросают три монеты: А - «выпало два герба»; В - «выпало три герба».

- 82 -

9. Исследуйте на несовместность события А и В при бросании игральной кости, если:

а) А - «четыре очка»; В - «четное число очков»;

б) А - «четное число очков»; В - «нечетное число очков».

10. Пять карточек, помеченные цифрами от 1 до 5, тщательно перетасовывают. Какова вероятность того, что:

а) трехзначное число, определяемое номерами трех извлеченных наугад карточек, окажется четным;

б) при случайной раскладке всех карт пять мест с номерами от 1 до 5 ни одна карточка не займет места, отмеченного ее номером;

в) при поочередном выборе всех карточек их номера будут появляться в возрастающим порядке.

11. Из 30 выстрелов по цели отмечено 25 попаданий. Найти относительную частоту попаданий в цель.

Данный текст я (w_cat) набираю руками, опечатки LibreOffice Writer, как положено, выделяет красной волнистой, но если «опечатанное» слово совпадает с существующим в словаре (базе) то опечатку я не замечу и не исправлю, вычислите вероятность такой ошибки :).

Великолепный обзор основных идей и методов современной математики дан в трехтомной монографии «Математика, ее содержание, методы и значение», написанной выдающимися советскими математиками и вышедшей в издательстве АН СССР в 1956 г. под редакцией академиков А.Д. Александрова, А.Н. Колмогорова и М.А Лаврентьева. Эта книга является, пожалуй, лучшим образцом сочетания глубины, строгости и доступности изложения. Можно только пожалеть, что изданная сравнительно небольшим тиражом она стала библиографической редкостью.