Математический аппарат инженера - страница 47

Так, из графа на рис. 236 для входной последовательности (2, 0, 1, 1, 2, 3) и начального состояния 0 имеем выходную последовательность (0, 1, 0, 0, 1, 1) и смену состояний автомата (1, 3, 0, 2, 2, 3). При начальном состоянии 2 и той же входной последовательности получаем соответственно (1, 1, 0, 0, 1, 1) и (2, 3, 0, 2. 2, 3).

С помощью графа автомата легко выделить следующие характерные типы его состояний:

1) преходящее состояние, из которого можно перейти, но крайней мере, в одно другое состояние, но после этого уже нельзя возвратиться в него ни при каком воздействии (соответствующая вершина не имеет заходящих дуг, но имеет хотя бы одну исходящею дугу);

2) тупиковое состояние, в которое можно перейти, по крайней мере, из одного другого состояния, но после этого уже нельзя выйти из него ни при каком воздействии (соответствующая вершина не имеет исходящих дуг в другие вершины, но имеет хотя бы одну входящую дугу из другой вершины);

3) изолированное состояние, из которого нельзя перейти ни в какое другое состояние и в него нельзя попасть ни из какого другого состояния (соответствующая вершина содержит только петлю).

Аналогичные определения можно дать для некоторых совокупностей состояний, рассматриваемых как подавтоматы. Если начальное состояние автомата М принадлежит непустому множеству S_>i состояний, которое составляет тупиковый или изолированный подавтомат, то M можно упростить исключением всех состояний, которые не принадлежат множеству S_>i, и всех дуг, начинающихся в этих состояниях.

Пусть М_>1, М_>2 и M_>3 - соответственно преходящий, тупиковый и изолированные подавтоматы автомата М, которые характеризуются множествами состояний S_>1, S_>2 и S_>3. Очевидно, выделение таких подавтоматов соответствует разбиению множества S состояний автомата М на непересекающиеся подмножества S_>1, S_>2 и S_>3, представляющие собой классы эквивалентности ( S_>1 ∪ S_>2 ∪ S_>3 = S и S_>1 ∩ S_>2 ∩ S_>3 = ∅ ). Как следует из обобщенного графа (рис. 237), матрица соединения автомата может быть представлена в виде:

- 570 -

где μ_>11, μ_>22, μ_>33 - матрицы подавтоматов М_>1, М_>2 и М_>3; μ_>12 - матрица, характеризующая переходы от состояний преходящего автомата М_>1 к состояниям тупикового автомата М_>2. Отсюда следует, что разбиение автомата М на подавтоматы М_>1, М_>2 и М_>3 можно осуществить преобразованием его матрицы соединений к стандартному виду путем перестановки соответствующих строк и столбцов. Например, для автомата, граф которого изображен на рис. 238, имеем:

Рис. 237. Обобщенный граф конечного автомата.

Рис. 238. Граф конечного автомата к примеру разбиения на подавтоматы.

Отсюда следует, что S_>1 = {3, 6} составляет преходящий подавтомат, S_>2 = {2, 4, 7} - тупиковый подавтомат и S_>3 = {1, 5} - изолированный подавтомат. Если начальное состояние принадлежит множеству S_>2, то можно упростить автомат, исключив состояния S_>1 ∪ S_>3 = {3, 6, 1, 5}, а в случае принадлежности начального состояния множеству S_>3 автомат упрощается исключением состояний S_>1 ∪ S_>2 = {3, 6, 2, 4, 7}.

6. Синтез конечных автоматов. Реализация конечных автоматов сводится к синтезу соответствующей комбинационной схемы, преобразующей входные переменные x(ν) и s(ν) в выходные переменные y(ν) и s(ν + 1) в соответствии с заданными характеристическими функциями s(ν + 1) = δ (x(ν), s(ν)) и y(ν)= λ (x(ν), s(ν)). Для сохранения состояний s(ν + 1) до следующего такта в цепь обратной связи вводится необходимое количество элементов памяти.

При реализации автоматов в двоичном структурном алфавите можно использовать рассмотренные ранее методы синтеза

- 571 -

комбинационных схем. Но для этого необходимо закодировать состояния схемы н представить характеристические функции в виде булевых функций двоичных переменных. Такое кодирование можно осуществить преобразованием общей таблицы перехода автомата к таблице соответствия в двоичном структурном алфавите. Если элементы множеств X, Y и S пронумерованы порядковыми числами, начиная с нуля, то им соответствуют коды, представляющие собой двоичные эквиваленты этих чисел. Например, для автомата, заданного в (4), таблицу переходов можно преобразовать к виду: