Математический аппарат инженера - страница 50
= {5} и S>4 = {8}. Обозначив представителей полученных пяти классов соответственно числами от 0 до
- 576 -
4, получим для рассматриваемого автомата минимальную форму с пятью состояниями и общей таблицей переходов:
Следует отметить, что автомат, все состояния которого эквивалентны, сводится к автомату с одним состоянием, т. е. представляет собой по существу комбинационную схему. Автомат, среди состояний которого нет эквивалентных, является несократимым.
Рис. 241. Граф неполного автомата (а) и его минимальная форма (б).
Если М' – минимальная форма автомата М, то она единственна и несократима.
9. Неполные автоматы. В практике встречаются случаи, когда не каждый символ из входного алфавита может быть подан на автомат, находящийся в определенном состоянии (ограничения на входе), или его выходы при некоторых входных воздействиях не представляют интереса (неопределенность выходов). Тогда приходится иметь дело с неполными автоматами, общая таблица переходов которых содержит прочерки вместо состояний и выходов для запрещенных входов, а также вместо неопределенных выходов.
Например, таблица для неполного автомата, граф которой изображен на рис. 241, a, имеет следующий вид:
- 577 -
Здесь вход 0 в состояниях 1 и 5, а также вход 1 в состояниях 0 и 5 являются запрещенными. Кроме того, в состоянии 3 при воздействии 0 и в состоянии 4 при воздействии 1 выходы не определены.
Входная последовательность называется допустимой для автомата в состоянии s>i, если она не нарушает ограничений на входе ни в каком состоянии автомата М и порождаемый ею выход определен на заключительном такте. На других тактах входной последовательности выходы могут быть и не определены, но последовательность состояний обязательно должна существовать. Например, для приведенного автомата в состоянии 0 допустимая входная последовательность {0, 1,0} порождает последовательность состояний {1, 4, 5} и заключительный выход 0. В то жевремя последовательность {0, 1, 1} не допустима, так как заключительный выход не определен.
Число состояний неполного автомата иногда можно сократить изложенными в предыдущих разделах методами, произвольно интерпретируя прочерки в его таблице и рассматривая его как полный автомат. Однако такой путь не гарантирует получения минимальной формы.
Сокращенная форма неполного автомата М – это такой автомат М', который по отношению к допустимым для М входным последовательностям ведет себя на выходах так же, как и исходный автомат М, но имеет меньшее число состояний. Автомат М' квазиэквивалентен автомату М. Отношениеквазиэквивалентности рефлексивно и транзитивно, но не симметрично, т. е обладает всеми свойствами отношения включения. Поэтому говорят также, что М' включает М и записывают М ⊂М'. При этом из М ⊂М' вовсе не следует М' ⊂М, что иногда выражают словами: М' делает столько же и, быть может, больше, чем М.
10. Минимизация неполных автоматов. Эта задача сводится к поиску квазиэквивалентного автомата, который имеет наименьшее число состояний, и решается следующим образом.
Сначала на множестве состояний S = {σ>1, σ>2, ..., σ>r} исходного автомата определяется отношение совместимости. Состояния σ>i и σ>j называют совместимыми, если любая допустимая для этих состояний входная последовательность не порождает различных заключительных выходов при начальных состояниях σ>i и σ>j автомата. Отношение совместимости рефлексивно и симметрично, однако оно не обязательно транзитивно. Отсюда следует, что совместимость является отношением толерантности. Все совместимые между собой состояния объединяются в классы толерантности S>'>0, S>'>1, ..., S>'>w, которые образуют некоторое покрытие множества состояний
Для определения совместимых состояний можно воспользоваться методом, аналогичным изложенному для полных автоматов. Исходная таблица содержит пары таких состояний, при которых для любого допустимого
- 578 -
символа отсутствуют различные выходы. Клетки, соответствующие запрещенным входам для данной пары состояний, заполняются прочерком и при исключении пар, как это описано в (8), не учитываются. Так, для автомата, заданного табл. 12, имеем: