Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.) - страница 13

Кульминацией первой части доклада стало определение понятия тензора кривизны, которое является обобщением понятия гауссовой кривизны на многообразиях. Кривизна кривой в точке рассчитывается путем построения соприкасающейся окружности и вычисления величины, обратной радиусу этой окружности. Так, кривизна окружности радиуса 2 во всех точках будет равна 0,5, а прямая будет иметь кривизну, равную нулю, так как соприкасающаяся окружность для этой прямой будет иметь бесконечно большой радиус.

Очевидно, что это определение непросто обобщить для всей поверхности, так как для каждой точки поверхности можно построить бесконечное множество соприкасающихся окружностей. Какую из них нужно выбрать? На этот вопрос ответил Риман, разработав так называемый тензор кривизны, причем не только для поверхностей, но и для многообразий с произвольным числом измерений.

На этой иллюстрации показано, что с увеличением кривизны радиус соприкасающейся окружности уменьшается.

_{>(Источник: Мария Изабель Бинимелис.)}

Во второй части доклада Риман рассмотрел модель, которая наилучшим образом объяснила бы физическое пространство — пространство, в котором мы живем. Сколько в нем измерений? Какова его геометрия?

В трактовке Римана любое пространство (будь то плоскость, трехмерное пространство или любое другое) можно изучить с помощью дифференцируемого многообразия. Если ввести на этом многообразии понятие расстояния, или метрику, то мы определим геодезические линии (напомним, что это кратчайшие линии, соединяющие две любые точки поверхности) и геометрию на этом многообразии. Так, плоскость сама по себе не является евклидовой или неевклидовой. Лишь введение евклидовой метрики на плоскости подтверждает правильность пятого постулата Евклида, и, как следствие, плоскость становится евклидовой. Если ввести на этой плоскости другую метрику, то этот постулат, возможно, перестанет выполняться.

Например, для расчета евклидовой метрики, то есть расстояния между двумя точками с известными координатами, нужно построить треугольник: одной стороной этого треугольника будет отрезок, соединяющий данные точки, двумя другими сторонами будут проекции этого отрезка на линии, которые параллельны перпендикулярным осям координат и проходят через данные точки. Таким образом, в полученном треугольнике можно будет вычислить гипотенузу по теореме Пифагора, как показано на следующем рисунке:

Евклидово расстояние (метрика) между точками Р и Q равно гипотенузе прямоугольного треугольника, получаемого построением прямых, параллельных осям координат X, Y и проходящих через точки Р и Q. Длина искомой гипотенузы вычисляется по теореме Пифагора.

* * *

Риман вновь изучил основные положения евклидовой геометрии. Проанализировав второй постулат, гласящий, что «ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой», он заметил, что это положение следует отличать от утверждения «всякая прямая является бесконечной». Он пришел к выводу, что в рамках этого нового подхода ко второму постулату необходимо отказаться от пятого постулата. Риман заменил его следующей фразой: «любые две прямые пересекаются». Путем подобных рассуждений он пришел к так называемой эллиптической геометрии.

Этот концептуальный переход будет проще понять, если мы рассмотрим геометрию поверхности Земли. Какую форму имеют кратчайшие линии, соединяющие две данные точки, то есть геодезические линии? Учтем, что они будут иметь наименьшую кривизну, а наименьшей кривизне соответствует наибольший радиус окружности. Следовательно, эти линии будут лежать на больших кругах земного шара, например на экваторе или меридиане. Этот результат, относящийся к сферической геометрии, прекрасно известен пилотам дальнемагистральных самолетов. Если самолет находится в одной точке экватора, а нужно попасть в другую точку экватора, то пилот должен следовать вдоль линии экватора. Однако если самолет находится в точке с координатой 30° северной широты, а пункт назначения находится на этой же широте, то кратчайший путь будет проходить ближе к северу. Теперь становится понятно, почему самолеты, следующие, например, из Парижа на Гавайи, летят через Гренландию, хотя Гавайи находятся южнее Парижа.