Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.) - страница 17

Алфавит западных языков (например, латыни) имеет ограниченное число символов. В восточных языках, например в китайском, количество различных символов огромно. В западных языках слова, имеющие смысл, образуются путем сочетания букв. В языках Востока, напротив, символы сами по себе обладают значением. Аналогично западным языкам традиционная геометрия (например, евклидова или риманова) оперирует немногочисленными элементами, в частности прямыми, окружностями и так далее. С их помощью создаются другие, более сложные конструкции, обладающие определенным смыслом в зависимости от контекста.

Фрактальная геометрия, напротив, соответствует семейству восточных языков в том смысле, что ее элементы сами по себе имеют смысл и отличаются от объектов традиционной геометрии. Каковы же эти элементы? Проще всего определить их с помощью правил вычислений или алгоритмов, которые можно считать значимыми единицами языка фракталов. Алгоритмы — это правила и инструкции построения конкретных фигур, для выполнения которых часто требуется прибегать к помощи компьютера.

С этой точки зрения классическая геометрия является первым приближением структуры физических объектов. Подобные объекты с очень высокой степенью точности описывает дифференциальная геометрия. Например, наблюдатель, находящийся на Земле, может убедиться, что сфера является адекватной моделью для Луны. Тем не менее для астронавта, который находится поблизости от Луны и может наблюдать кратеры на ее поверхности, подобная модель уже не будет корректной. Смоделировать сложные и нерегулярные окружающие нас структуры с помощью традиционных приемов очень сложно. Фрактальная геометрия в некотором роде заполняет собой этот промежуток. Ее можно использовать, чтобы с точностью описать очертания как листа дерева, так и всего дерева целиком.

Фракталу сложно дать общее определение, поскольку многие из них неприменимы ко всем существующим семействам фракталов. Возможно, лучшим способом будет указать общие черты математических процессов, результатом которых являются фракталы. В конечном итоге наиболее интересной чертой фракталов и основой их фундаментальных математических свойств являются отличительные особенности процессов, порождающих фракталы.

Так, фрактал формируется как результат бесконечного числа итераций (повторений) четко определенного геометрического преобразования. Это преобразование, как правило, очень простое и определяет итоговый вид фрактала. Благодаря тому что эта процедура повторяется бесконечное число раз, ее результатом будут внешне чрезвычайно сложные структуры.

Во фрактальной геометрии сложная фигура может получаться в результате удивительно простого процесса. Верно и обратное: не следует недооценивать возможные результаты простого процесса, часто они могут оказаться весьма сложными.

Основная мысль Мандельброта такова: многие природные объекты (горы, облака, побережья, капилляры) на первый взгляд невероятно сложны, но в действительности обладают одним и тем же геометрическим свойством — неизменностью в различных масштабах.

В 1975 г. Мандельброт опубликовал книгу «Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность» в которой объясняется, что неологизм «фрактал» происходит от латинского fractus («сломанный, разбитый»). Позднее американский автор научно-популярных книг Джеймс Глейк в книге «Хаос. Создание новой науки» рассказал, что одним зимним вечером Мандельброт работал над книгой и задумался над тем, какое название можно дать фигурам, размерности и всему разделу геометрии, который описывался в книге. Он начал бегло пролистывать латинский словарь. Прилагательное fractus, происходящее от глагола frangere («ломать»), и звучание родственных ему английских слов fracture («излом»), fraction («обломок») показались подходящими. Так он придумал новое слово — фрактал.

В 1982 г. он публикует новую книгу «Фрактальная геометрия природы» с удивительными иллюстрациями, созданными при помощи компьютерных технологий. На 15-й странице первого издания этой книги Мандельброт предлагает определение, но сам же и уточняет, что оно не охватывает отдельные множества, которые по разным причинам также относятся к категории фракталов. Его определение звучит так: «Фрактал — это множество, хаусдорфова размерность которого строго больше его топологической размерности». (Более подробно об этих и других видах размерности будет рассказано в главе 2, стр. 67.)