Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.) - страница 25
— 1. Однако, чтобы это определение стало более строгим, нужно корректно определить значение формулировки «каким-либо способом разделить». В 1913 г. первую попытку уточнить это определение предпринял Брауэр, затем десять лет спустя Урысон. Каждый привел различные толкования, но для локально связных пространств они совпадают. Так, в настоящее время наиболее важными считаются три определения топологической размерности: индуктивное определение Урысона (и Менгера), индуктивное определение Брауэра (и Чеха), а также размерность Лебега, определенная посредством покрытий[16].
Топологическую размерность Лебега (далее мы будем именовать ее просто топологической размерностью) очень удобно использовать для множеств, имеющих неправильную структуру.
Наглядно изобразить топологическую размерность очень просто. Покрытием подмножества S на
Покрытие кривой с кратностью 2.
>(Источник иллюстраций на этой странице: Мария Изабель Бинимелис.)
Аналогичные действия можно выполнить для любой части заданной плоскости. Приведем простую аналогию. Пусть нужно закрасить определенную область зеленым цветом. У нас есть одна или несколько печатей, которые могут иметь круглую или другую форму. Покрытием этой области будет раскрашивание ее в зеленый цвет без промежутков. Очевидно, что некоторые участки будут покрыты несколько раз, поэтому они будут окрашены в более темный цвет. Выберем из всех таких участков один (или несколько) самого темного цвета, то есть такой, который был закрашен наибольшее число раз, и назовем это число кратностью покрытия. Взгляните на рисунок ниже.
Рассмотрим первое покрытие (слева) и обратим внимание на маленький участок, почти точку, закрашенный черным цветом: он покрыт пятью печатями, и нет никакого другого участка, который был бы покрыт большее число раз. Следовательно, кратность этого покрытия равна пяти. Можно ли уменьшить эту кратность? Иными словами, можно ли поставить печать на всех точках поверхности, не покрывая какую-либо точку пять раз? На рисунке справа видно, что это возможно: мы слегка уменьшили площадь печатей (каждая из них содержится внутри соответствующей печати, расположенной в том же месте на рисунке слева), и вся нужная область оказалась покрытой полностью. Это новое покрытие называется подпокрытием предыдущего. Для нового покрытия кратность уменьшилась до четырех.
Можно получить покрытие кратности 3, как показано на следующем рисунке, но покрытие кратности 2 уже невозможно.
Заданная область, каждый участок которой покрыт не более чем тремя печатями.
>(Источник: Мария Изабель Бинимелис.)
В целом говорят, что множество имеет топологическую размерность п, если наименьшая возможная кратность его покрытия равна n + 1. Следовательно, говорят, что топологическая размерность первой фигуры (кривой) равна 1, размерность второй фигуры (области) равна 2. Точка является 0-мерной, линия — одномерной, плоскость — двумерной, а евклидово пространство
С этой точки зрения размерность произвольного пространства (точки, линии, поверхности и других) соответствует минимальному числу параметров, необходимых, чтобы описать различные точки этого пространства. Например, чтобы описать все точки плоскости, достаточно всего двух координат: абсциссы (которая, например, определяет длину) и ординаты (определяет ширину). Пространство требует наличия уже трех координат: длины, ширины и высоты.
Необходимость ввести определение топологической размерности была в значительной степени вызвана тем, что традиционное определение размерности (в котором фигурировали интуитивно понятные и неточные термины, например «тонкость») было поставлено под сомнение в последние годы XIX в. Первое определение следует из доказательства Кантора, которое подтверждает взаимно однозначное соответствие между множеством точек вещественной прямой