Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.) - страница 36
В отличие от не дифференцируемых функций, заданных аналитически, из прошлых примеров, функция Больцано определяется как предел последовательности полигональных функций В>1(х), В>2(х), В>3(х)…, первые две из которых представлены на следующих графиках.
>Источник: Мария Изабель Бинимелис.
Последователями Вейерштрасса было найдено множество других непрерывных не дифференцируемых функций. То, что сначала казалось необычным, в итоге оказалось вполне привычным. Более того, в настоящее время известно, что количество непрерывных функций, которые также являются дифференцируемыми, относительно невелико.
В 1903 г. японец Тейджи Такаги (1875–1960) привел пример непрерывной функции, не дифференцируемой ни в одной точке, которая была проще, чем функция Вейерштрасса. Аналитически она задается очень похожим образом. Главное отличие заключается в том, что ее основным элементом является график функции, имеющий форму палатки в виде перевернутой буквы «V», представленный на иллюстрации:
Функцию Такаги, равно как и функцию Больцано, можно представить в виде суммы ряда полигональных функций. Алгоритм, с помощью которого строятся эти функции, называется «смещение средней точки». Он использовался еще Архимедом для вычисления площади сегмента, ограниченного дугой параболы и ее хордой. На рисунке ниже представлены различные этапы построения графика. Каждому последующему этапу соответствует более тонкая линия.
На первом шаге строятся две копии исходного графика. Затем возьмем первую копию и сместим ее среднюю точку влево в точку с координатами (1/4; 1). Точки ее основания будут иметь координаты (0; 0) и (1/2; 1). Выполним аналогичные действия со второй копией. Ее средняя точка будет иметь координаты (3/4; 1), а крайние точки — (1/2; 1) и (1; 0). Полученный многоугольник станет отправной точкой для второго этапа построения. Аналогично выполняется третий этап, и так до бесконечности. В пределе получим кривую, под которой расположены все кривые, построенные на предыдущих итерациях.
Эта кривая также носит название кривой бланманже за схожесть с французским десертом бланманже — разновидностью пудинга.
Если выполнить это построение в трех измерениях и выбирать смещения случайным образом, то получим изображение, которое будет очень похоже на реальный пейзаж. Подобным способом, например, был создан инопланетный пейзаж в блокбастере «Звездный Путь II. Ярость Хана» (режиссер Николас Мейер, 1982), а также знаменитая Звезда Смерти в фильме «Звездные войны. Эпизод VI; Возвращение джедая» (автор сценария Джордж Лукас, 1983).
В статье 1884 г., озаглавленной «О свойствах совершенных множеств точек», Георг Кантор описал в высшей степени странную функцию, определенную на единичном квадрате. Эта функция является непрерывной и возрастающей, ее производная равна нулю почти во всех точках, график этой функции от нуля до единицы направлен вверх без «скачков». На этом участке длина кривой, определяемой этой функцией, равна 2. Кроме этого, график функции обладает свойством самоподобия: часть, ограниченную осью абсцисс, можно разделить на шесть равных частей, которые будут иметь ту же форму, что и весь график в целом. Коэффициент сжатия вдоль горизонтальной оси будет равен 1/3, вдоль вертикальной — 1/2. Благодаря этим загадочным свойствам и форме, напоминающей лестницу, график этой функции получил название дьявольской лестницы. Существуют и другие графики с этим названием, но функция, приведенная здесь, была описана раньше других и является наиболее типичной.
Дьявольская лестница строится по рекурсивной процедуре. В центральной трети единичного квадрата на высоте 1/2 нужно провести отрезок, параллельный оси абсцисс. Затем следует провести две диагонали, соединяющие концы этого отрезка с вершинами единичного квадрата, как показано на рисунке. На втором этапе нужно выполнить аналогичные действия над остальными третями графика. Повторяя эти действия до бесконечности, мы получим дьявольскую лестницу.
>Первые итерации построения дьявольской лестницы.
>(Источник: Мария Изабель Бинимелис