Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.) - страница 41
z>n+1 = z>n>2 + c,
где z — комплексное число, с — комплексная константа. Суть формулы проста: нужно взять число, умножить его на само себя, сложить с константой с и повторять эти действия над каждым полученным результатом снова и снова. В полученной последовательности комплексных чисел каждое число зависит только от выбора начальной точки и константы с.
В 1906 г. Фату доказал, что если применить эту операцию ко всем точкам комплексной плоскости, то большинство полученных орбит будут заканчиваться на бесконечности, за исключением четко определенного множества точек, внутренняя часть которого сегодня известна как множество Фату. Эти точки можно назвать «пленниками», а остальные точки — «изгнанниками». Точки на границе между ними, «охранники», образуют множество Жюлиа.
Рассмотрим подробнее эту операцию при с = (0, 0). Квадрат комплексного числа — это точка комплексной плоскости, модуль радиус-вектора которой равен квадрату модуля радиус-вектора исходной точки, а угол с горизонтальной осью в два раза больше исходного.
В следующей таблице приведены значения z, z>2, z>4, z>8, z>16, z>32 для трех разных комплексных чисел: внутри единичной окружности (иными словами, модуль этого числа меньше единицы), на единичной окружности и, наконец, вне единичной окружности. На рисунке приведено геометрическое представление всех трех случаев.
В таблице вверху приведены расчеты для трех типов орбит.
Орбита, описанная в левой части таблицы, стремится к началу координат; та, что в центре таблицы, описывает единичную окружность; та, что справа, уходит в бесконечность.
На рисунках представлено графическое изображение этих трех орбит на комплексной плоскости.
Мы видим, что для точки внутри окружности орбита стремится к началу координат, для точки вне окружности — уходит в бесконечность, а точка, которая находилась на единичной окружности, по-прежнему остается на ней. Чем больше модуль исходного числа, тем быстрее оно удаляется от единичной окружности. Таким образом, комплексная плоскость делится на две части: «пленников», которые находятся внутри единичной окружности, и точек вне ее, которым «удалось сбежать». В этом случае множество Жюлиа представляет собой единичную окружность — множество точек-«охранников». Заметим еще один факт (впоследствии он сыграет очень большую роль): множество Жюлиа инвариантно по отношению к квадратичной функции, то есть любая орбита, начало которой находится на множестве Жюлиа, останется на этом же множестве.
Заметим, что существуют две фиксированные точки: (0, 0) и (1, 0). В этом случае точка (0, 0) является аттрактором, так как к ней стремятся орбиты всех точек внутри окружности. Говорят, что в этом случае внутри единичной окружности располагается область притяжения аттрактора — точка (0, 0). Точка (1, 0) является неподвижной точкой — репеллером, так как рядом с ней существуют точки, например, (1, 01, 0), орбиты которых уходят в бесконечность.
Если мы будем считать бесконечность еще одной точкой плоскости и обозначим ее знаком <*>, то будем говорить, что точка °° является неподвижной, а ее область притяжения будет состоять из всех точек, лежащих вне единичной окружности.
Единичная окружность — простейший пример множества Жюлиа. Оно обладает теми же свойствами, что и большинство множеств Жюлиа: оно является границей области притяжения аттрактора (0, 0) и
Частный случай z>n+1 = z>n>2, который обычно записывается в виде z —> z>2, — это своеобразный вход в мир удивительных и прекрасных фрактальных множеств Жюлиа.
Чтобы получить изображение других множеств Жюлиа, например для с = 0,5 + 0,5i, нам понадобится помощь компьютера. В теории для каждой точки плоскости нужно подтвердить, что ее орбита стремится к нулю или к бесконечности. На практике это невозможно, поэтому, чтобы изобразить множество Жюлиа, нужно использовать альтернативные алгоритмы.
На следующем рисунке показана таблица с данными для орбит нескольких точек, а также изображение множества Жюлиа, соответствующего с = 0,5 + 0,5i.
Три орбиты, которые уходят в бесконечность.