Параллельный перенос вектора. Критика - страница 3

Рис.1. Паралельный перенос вектора [8, т.1, с.412]

Гауссова кривизна γ_>G в рассмотренном случае сферической поверхности определена как отношение площади, обойденной вектором, к углу поворота вектора, когда он вернулся в исходную точку [8, т.1, с.412]. В примере с треугольным контуром, действительно, получается вполне осмысленная величина кривизны – 1/a^>2, где а – радиус сферы:

Как видим, и в этом случае при обходе по замкнутому контуру результирующий вектор не совпал по направлению с исходным. Хотя на рисунке это не очень заметно, но в предпоследней точке 3 направление вектора в точности совпадает с последним направлением 4 при обходе треугольника. Тем не менее, и в данном случае возникает вопрос по изображению векторов. Судя по всему, векторы в точках 2 и 3 направлены точно по сторонам треугольника, то есть, по определению параллельны друг другу. Однако они изображены слишком короткими отрезками, поэтому на рисунке не совсем ясно, лежат ли они на поверхности сферы? На плоском пространстве поверхности сферы возможны лишь векторы, полностью совпадающие с этой поверхностью.

В случае сферического треугольника вектор, как показано на рисунке, при переносе изменил своё направление. Но что будет, если взять квадратный или прямоугольный контур? Как видно на рис.2а при таком переносе итоговый угол φ = 0, поэтому кривизна оказывается равной нулю. Получается, что метод не вполне корректен, поскольку даёт для одной и той же поверхности при использовании одного и того же правила разные значения.

Немного доработаем рисунок, чтобы устранить эту неопределенность с направлениями вектора. Будем считать, что исходный вектор 1, векторы 2, 3 и 4 касательны к дугам 1-2 и 3-4, то есть, к боковым сторонам треугольника, вдоль которого они переносятся. Именно это и означает их параллельность.

Поскольку мы вправе произвести параллельный перенос вектора по произвольному маршруту, то мы добавим ещё один отрезок, превратив сферический треугольник в сферический квадрат (вернее, криволинейный четырехугольник). И сразу же обнаруживаем, что наш вопрос возник, вообще-то, не на пустом месте. Мы видим два переноса вектора по ортогональным к меридианам линиям – 2-3 и 4-1. Вновь возникает вопрос: почему при переносе по параллели 2-3 вектор остался коллинеарным своим меридианам 1-2 и 3-4, а на отрезке 4-1 нет? Логического оправдания такого различия, похоже, не существует.

Рис.2. Паралельный перенос вектора на сфере

Для наглядности на рисунке 2а добавлены промежуточные меридианы – параллельные линии, с которыми вектор обязан совмещаться при параллельном переносе. Штриховые стрелки показывают направление обхода, а тонкие стрелки – промежуточные положения переносимого вектора. Хорошо видно, что при возвращении в исходную точку вектор сохранил своё исходное направление – вдоль меридиана.

Надо заметить, что полученный результат не только противоречивый, но и странный. Выходит, что такой метод внутреннего определения кривизны пространства не вполне корректен? Мы точно знаем, что сфера – это искривленное пространство. Но поворот вектора, возникающий при параллельном переносе по замкнутому контуру и считающийся признаком кривизны поверхности, отсутствует. То есть, кривизны нет? Но мы же в исходном варианте с треугольной траекторией отчетливо видели – вектор испытал поворот. Почему возникло такое несоответствие?

Чтобы выяснить причину расхождений, проделаем следующее. Уменьшим длину верхней параллели, то есть, переместимся на более высокую широту, следующую параллель, которые показаны штриховыми линиями на рисунке 2b, и вновь произведем перенос вектора по образовавшемуся контуру. Очевидно, что результат будет таким же – вектор вернётся точно в исходное состояние. Ещё уменьшим длину верхней параллели и вновь перенесём вектор. Результат прежний. Будем уменьшать верхнюю параллель до тех пор, пока она не сожмётся в точку. Видимо, даже достигнув полюса, мы будем обязаны даже в этой точке явным образом как бы повернуть вектор до его исходного положения. Действительно, поворачивая при переносе вектор во всех предыдущих случаях, почему мы вдруг должны прекратить его поворот в исходное положение? Кстати, это следует все-таки уточнить. На самом деле во всех этих случая собственно поворота нет – есть строго параллельный перенос. Длинной стрелкой 5 показано, что при любом подъеме широты вплоть до полюса, наивысшей параллели вектор в каждой точке всегда совпадает с меридианом.