Пока алгебра не разлучит нас - страница 16

Между прочим, именно Якобсон вдохновил меня написать «Элементарные структуры родства» по окончании курса по этой теме, который я прочел зимой 1942-го.

Именно тогда я решил проследовать в этнологии тем же путем, что Якобсон с коллегами — в лингвистике. Но мне кажется, мы не сможем продолжить нашу беседу, если вы не расскажете мне, о чем же говорится в этой теории групп, которая вам так хорошо знакома.

41

Математика — всего лишь история групп.

Анри Пуанкаре

ВЕЙЛЬ: Присаживайтесь, господин Леви-Стросс.

ЛЕВИ-СТРОСС: Вы объясните мне, что такое группа?

ВЕЙЛЬ: Постараюсь. Мне хотелось бы начать с одного примера — он очень прост, но в нем постепенно раскрывается большинство основных понятий теории групп. Представьте себе равносторонний треугольник — надеюсь, вы помните, что это треугольник, все стороны которого равны. Меня интересуют движения, которые не меняют положение треугольника, то есть такие, когда сторонний наблюдатель не сможет увидеть разницу между треугольниками «до» и «после». Говорят, что треугольник инвариантен относительно таких преобразований.

ЛЕВИ-СТРОСС: Простите, я перебью вас, господин Вейль. Я кое-что не понял: если фигура в результате этих преобразований не меняется, то как определить, выполнили мы это преобразование или нет? Ведь треугольники не имеют памяти!

ВЕЙЛЬ: Хороший вопрос. Я как раз собирался ответить на него. Нужно пронумеровать вершины треугольника. Он будет выглядеть так же, однако в результате преобразования положение вершин изменится, таким образом, преобразование оставит свой след. Вершины нумеруются исключительно из соображений удобства.

Первая разновидность движения, которую мы рассмотрим, — поворот на 120° против часовой стрелки относительно центра треугольника.

Обозначим это преобразование через R. Как я уже говорил, увидеть результат R нельзя, но если мы бы, к примеру, пронумеровали вершины треугольника, начиная с верхней, против часовой стрелки, то можно было бы сказать, что R переводит первую вершину в третью, вторую — в первую, третью — во вторую. Проще всего показать это на рисунке.

43

Результат поворота R.

Видите? Треугольник не изменился, но теперь его вершины пронумерованы 3—1—2, а не 1—2—3.

R не единственное преобразование, оставляющее треугольник неизменным.

Представьте себе осевую симметрию, ось которой пересекает треугольник. Чтобы в результате симметрии треугольник остался неизменным, нужно внимательно выбрать ось, так как при некоторых видах симметрии положение треугольника изменится.

Симметрия, при которой треугольник меняется.

Треугольник останется неизменным, если ось симметрии проходит через его центр и одну из вершин. Поворот мы обозначили через R, симметрию — через S. Та же схема, которой мы проиллюстрировали поворот R, поможет показать, как изменится положение вершин при симметрии S. Первая вершина останется на месте, а вторая и третья поменяются местами. Теперь вершины пронумерованы не 1—2—3, а 1-3-2.

Результат симметрии S.

Теперь нам известны преобразования R и S. Что с ними можно сделать?

ЛЕВИ-СТРОСС: Выполнить сначала первое, а затем — второе?

ВЕЙЛЬ: Именно! Основное свойство этих преобразований заключается в том, что для двух таких преобразований можно определить их композицию. Применим поворот R, затем — симметрию S и обозначим полученный результат как SR. Мы привыкли читать слева направо, поэтому было бы логичнее записать RS, так как поворот R выполняется первым. Однако обозначение SR имеет свои преимущества.

Найдем композицию двух исходных преобразований.

Композиция преобразований R и S.

На рисунке показано, что при движении SR вторая вершина остается неизменной, а две другие меняются местами. Следовательно, порядок следования вершин меняется с 1—2—3 на 3—2—1. Обратите внимание, что этот же результат можно

45

получить, применив к исходному треугольнику осевую симметрию, ось которой проходит через вторую вершину. Два этих преобразования совпадают.

Композиция преобразований SR представляет собой симметрию.

Теперь определим RS, то есть сначала применим S, а затем R, и посмотрим, как изменится порядок вершин.