Примени математику - страница 11
+n>2+. ..+n>k.
Эти числа определяют в точности те же признаки делимости, что и сформулированные в задачах 2.4, 2.8, 2.1, 2.9.
2.18. Полагая в признаке Паскаля m = 4 и m = 8, получаем для k-значного числа n следующие числа:
f>4(n)= n>0+2n>1, f>8(n)= n>0+2n>1+4n>2.
Получаемые в результате признаки делимости на 4 и на 8 несколько отличаются от приведенных в задачах 2.5 и 2.6, однако вряд ли могут рассматриваться как более простые, поскольку, на наш взгляд, требуют чуть больше вычислений.
2.19. Доказательство модификации признака Паскаля, по существу, ничем не отличается от доказательства, приведенного в решении задачи 2.16. Разница состоит лишь в том, что деление каких-то из чисел 10>1, 10>2, 10>3, ... на m нужно провести не с остатком, а с недостатком, т. е. в соответствующих формулах
10>k = q>km + m>k
положительные числа m>k взять на m меньшими прежних (отрицательными), a q>k - на 1 большими прежних.
2.20. Производя в признаке Паскаля деление степеней десятки на 11 попеременно то с остатком, то с недостатком, имеем
10 = 11 - 1, m>1 = -1,
10m>1 = -10 = -11 + 1, m>2 = 1,
10m>2 = 10 = 11 - 1, m>3 = 1,
откуда получаем, что число
f>11(n)= n>0-n>1+n>2-n>3+. ..+(-1)>kn>k.
Поэтому для делимости числа n на 11 необходимо и достаточно, чтобы суммы n>0 + n>2 + ... и n>1 + n>3 + ... отличались друг от друга на число, кратное 11.
2.21. Подставляя значение m = 11 в утверждения, сформулированные в решениях задач 2.11 и 2.12, и используя признак делимости на 11, получаем способы проверки сложения и умножения. Если у числа n, представляющего собой истинный ответ, заменить одну цифру на неверную, то число f>11(n) обязательно изменится на некоторое число, меньшее 11 (даже меньшее 10), а значит, будет давать другой, уже неверный остаток от деления на 11. Поэтому, сравнив его с верным остатком, можно обнаружить ошибку. Более того, если известно, в какой именно цифре числа n возможна-ошибка, эту цифру можно однозначно восстановить.
2.22. Действуя согласно модифицированному признаку Паскаля, при m = 7 имеем
10 = 7 + 3, m>1 = 3,
10m>1 = 30 = 28 + 2, m>2 = 2,
10m>2 = 20 = 21 - 1, m>3 = -1,
10m>3 = -10 = -7 -3, m>4 = -3,
10m>4 = -30 = -28 - 2, m>5 = -2,
10m>5 = -20 = -21 + 1, m>6 = 1,
10m>6 = 10 = 7 + 3, m>7 = 3, ... ,
откуда получаем, что число
f>7(n) = n>0 + 3n>1 + 2n>2 - (n>3 + 3n>4 + 2n>5)+...
2.23. Пусть все цифры числа n разбиты на тройки, образующие трехзначные числа n>0, n>1, n>2, ..., n>k (начиная справа). Тогда число
дает при делении на 37 тот же остаток, что и сумма n>0 + n>1 + n>2 + ... + n>k, поскольку в полученном представлении числа n второе выражение делится на 999 = 37*27. Если указанная сумма является более чем трехзначным числом, то к ней можно применить те же рассуждения, что и к исходному числу n, и этот процесс можно продолжать до тех пор, пока не получится трехзначное число. Наконец, любое трехзначное число 
2.24. Учитывая равенство 1001 = 7*11*13, получаем, что недостаток m>1 при делении числа 103 (на любое из чисел 7, 11, 13) равен -1. Остаток m>2 от деления числа 10>3 равен остатку от деления числа 10>3m>1 = -1000 = -1001 + 1, т. е. равен 1. Недостаток m>3 от деления числа 10>6, равен недостатку от деления числа 10>3m>2 = 1000 = 1001 - 1, т.е. равен -1, и т. д. Поэтому если все цифры числа n разбиты на тройки, образующие трехзначные числа n>0, n>1, n>2, n>3, ..., n>k (начиная справа), то число
n = n>0+10>3n>1 +10>6n>2 +10>9n>3+ ...+10>3kn>k
дает при делении на любое из чисел 7, 11, 13 тот же остаток, что и число
n>0-n>1+n>2-n>3+. ..+(-1)>kn>k
Такие же рассуждения можно применить к указанной сумме еще и еще раз до тех пор, пока не получится трехзначное число (возможно, отрицательное). Остаток от деления этого числа на 7, 11, 13 будет таким же, как и у исходного числа n.
2.25. Заметим, что число 10m - 1 не имеет общих делителей с числом 10, так как око не делится ни на 2, ни на 5. Поэтому число n + n>0m делится на 10m - 1 тогда и только тогда, когда на 10m - 1 делится число
10 (n + n>0m) = 10n + 10mn