Примени математику - страница 8
Можно ли это утверждать при условии, что вы ручаетесь за правильность всех цифр полученного в ответе числа, кроме, быть может, одной цифры?
2.14. В магазине Вы пришли в магазин и хотите купить 8 одинаковых авторучек, несколько карандашей по 4 копейки, линейку за 9 копеек, 2 общие тетради по 18 копеек и 12 тонких тетрадей. Продавец подсчитал общую стоимость товаров и попросил вас уплатить в кассу 5 рублей 27 копеек.
Как, по-вашему, не ошибся ли продавец?
2.15. Разложив на множители Сформулируйте признаки делимости на 6, 12, 15, 18, 24, 36, 45. Достаточно ли для проверки делимости числа на 24 установить его одновременную делимость на 4 и на 6?
2.16. Признак Паскаля Для получения признака делимости на m найдем заранее остатки m>1, m>2, m>3,... от деления на m чисел 10>1, 10>2, 10>3,..., соответственно. Для любого числа
f>m(n)= n>0+m>1n>1+m>2n>2+. ..+m>kn>k.
Докажите, что числа n и f>m (n) дают одинаковые остатки при делении на m и могут делиться на m только одновременно. Проверьте, что нахождение остатка m>k+1 при k = 1, 2, 3,... можно осуществить проще, если заметить, что он равен остатку от деления на m числа 10m>k, (вместо числа 10>k+1).
2.17. Частные случаи Проверьте, что сформулированные выше признаки делимости на 2, 3, 5 и 9 (см. задачи 2.4, 2.8, 2.1 и 2.9) представляют собой частные случаи признака Паскаля.
2.18. Что лучше? Получите из признака Паскаля признаки делимости на 4 и на 8. Сравните их с предложенными ранее в задачах 2.5 и 2.6.
2.19. Модификация признака Паскаля Для практического применения признака делимости на m, сформулированного в задаче 2.16, бывает удобнее некоторые из остатков m>1, m>2, m>3,... от деления на m чисел 10>1, 10>2, 10>3,..., Заменить соответствующими недостатками (особенный аффект от такой замены достигается в тех случаях когда недостатки близки к нулю).
Проверьте, что в результата указанной замены признак Паскаля сохранит силу.
2.20. Остаток от деления на 11 С помощью модификации признака Паскаля (см. задачу 2.19) придумайте способ, как найти остаток от деления данного числа на 11, не производя самого деления.
Докажите, что данное число делится на 11 в том и только в том случае, если сумма его цифр, стоящих на четных местах, совпадает с суммой его цифр, стоящих на нечетных местах, или отличается от нее на число, кратное 11.
2.21. Еще одна проверка вычислений По аналогии со способами, предложенными в задачах 2.11 и 2.12, придумайте способы проверки сложения и умножения, основанные на признаке делимости на 11 (см. задачу 2.20).
Докажите, что если возможная ошибка затрагивает только одну цифру полученного в ответе числа, то наличие ошибки можно установить с помощью одного лишь признака делимости на 11.
2.22. Делимость на 7 Пользуясь модификацией признака Паскаля (см. задачу 2.19), сформулируйте признак делимости на 7.
2.23. Разбиение цифр на группы Когда степени десятки дают при делении на m большие остатки и недостатки, эффективность признака Паскаля (см. задачи 2.16 и 2.19) оказывается невелика, поскольку подсчет значения f>m (n) в этом случае столь же трудоемок, что и непосредственное деление числа n на m. В такой ситуации существенную роль может сыграть обнаружение степени десятки, дающей маленький по модулю остаток или недостаток при делении на m, что позволяет разбить все цифры делимого на группы и тем самым действительно облегчить проверку делимости многозначных чисел.
Пользуясь тем, что число 10>3 дает при делении на 37 остаток 1, получите следующий признак делимости на 37: если разбить все цифры числа n на тройки, начиная справа (в последней "тройке" может оказаться менее трех цифр, но тогда ее недостающие цифры будем считать нулями), и сложить эти тройки как трехзначные числа, то полученная сумма будет иметь тот же остаток от деления на 37, что и число n.
Придумайте способ, как упростить проверку делимости трехзначного числа на 37.
2.24. Общий признак для 7, 11, 13 Пользуясь описанной в задаче 2.23 идеей разбиения цифр на группы, предложите признаки делимости на 7, 11, 13, сводящиеся к проверке делимости некоторого трехзначного числа на 7, 11, 13 соответственно.