Программирование игр и головоломок - страница 4

(((x − 1)/13 + у − 1)/13 + z − 1)/13.

Например, если вы достанете, как только что случилось со мной, семерку бубен, десятку червей и еще шестерку бубен, то

x =7 y= 10 z = 6

и компьютер получит 0.440601.

Эго значение не является воистину непредсказуемым. Как только вы достанете карты, вы уже сможете понять порядок величины результата. С другой стороны, таким способом вы не сможете получить более 13³ = 2197 различных чисел. Но этого на самом деле достаточно для приложений, которые мы рассматриваем в этой книге. А если вы и в самом деле хотите получить что-либо непредсказуемое, прочтите следующий раздел.

Редко бывает нужно получить только одно случайное число. Чаще нужно получить много таких чисел. Большая часть игр, представленных в этой книге, требует, чтобы играющий с компьютером по ходу игры встречался, сообразно с предложенными правилами, с непредсказуемыми ситуациями. Нужно уметь порождать такие ситуации.

Поэтому нужно иметь возможность построить такую последовательность чисел, чтобы переход от одного числа к другому определялся простыми вычислительными правилами, но чтобы в то же время результат было трудно предсказать.

Может случиться, что используемый вами язык предоставляет эту возможность непосредственно в виде одной из конструкций языка.

Так, на LSE команда ALE(x) дает число, лежащее в интервале (0, 1), значение которого зависит от x, но непредвиденным образом и, кроме того, не специфицированным в языке: значение будет различным на разных машинах. Если вы трижды зададите один и тот же вопрос

>? ALE (0.1)

вы каждый раз получите один и тот же ответ, но между ALE(0.1) и ALE(0.2) нет простого соотношения.

На Бейсике функция RND играет ту же самую роль. Она порождает непредсказуемую последовательность, значения которой зависят только от начального числа — оно одно и то же для данного компьютера. Инструкция RANDOM дает случайное число и ставит его начальным элементом последовательности, что позволяет порождать различные последовательности.

Может быть, интересно посмотреть, как можно строить подобные последовательности. Вот метод, предложенный А. Энгелем [ENG]. Если x — число между 0 и 1, то следующий за x элемент последовательности есть

дробная часть ((x + 3.14159)^>8)

Конечно, восьмая степень вычисляется тремя последовательными возведениями в квадрат! Она дает число между 9488 (для x = 0) и 86564. Очень небольшое изменение x вызывает сильное изменение (x + π)^>8, и, в частности, оно может перейти через ближайшее целое, так что новое значение (дробная часть результата) может оказаться меньше предыдущей.

Возьмем, например, x = 0.52000; тогда

(x + 3.14159)^>8 = 32311.5437

так что за 0.5200 следует 0.5437.

Но для x = 0.52005 имеем

(x + 3.14159)^>8 = 32315.0736

и за 0.52005 следует 0.0736.

Так как мы берем дробную часть, то полученное число, разумеется, лежит между 0 и 1.

Упражнение 1. Поведение последовательности.

Речь идет о том, чтобы увидеть, как ведут себя числовые последовательности, порожденные таким образом. Для этого вычислим большое число членов последовательности, порожденной своим первым элементом. Поместим каждый из этих членов в один из 50 интервалов длины 0.02, составляющих интервал от 0 до 1. Выведем число членов последовательности, попавших в каждый из этих интервалов. Если числа из последовательности равномерно распределены в интервале (0, 1), мы должны будем обнаружить, что их количество в разных интервалах имеет ощутимую тенденцию к постоянству.

Составьте программу для проверки зтого утверждения. Начальное значение может, например, вводиться в начале каждого вычисления.

Упражнение 2. Поиск других последовательностей.

Число π, использованное при вычислении наших последовательностей, не обладает никаким специальным свойством, и можно спросить себя, действительно ли выбор этого числа является наилучшим возможным. Числа (x + π)^>8 довольно велики, а берем мы от них только дробную часть. При этом мы отбрасываем значащие цифры целой части, и — поскольку вычисления на компьютере проводятся с фиксированным количеством значащих цифр — на дробную часть остается относительно небольшое количество цифр. Предположим, что числа представляются с помощью 24 двоичных цифр. Нужно 14 двоичных цифр, чтобы записать 9488, так как