Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма - страница 6
1/2 · ab
для каждого из них. Следовательно, общая площадь первого квадрата равна
A>1 = a>2 + b>2 + 4(1/2 · ab)
Площадь второго квадрата равна сумме площади вписанного квадрата со стороной с и площадей четырех треугольников со сторонами а и b:
A>2 = c>2 + 4(1/2 · ab).
Так как А>1 и А>2 равны, то
a>2 + b>2 + 4(1/2 · ab) = c>2 + 4(1/2 · ab).
И, после сокращения уравнения:
а>2+b>2=с>2.
Это типичный пример геометрического доказательства, поскольку для него необходимо построить различные геометрические фигуры внутри квадратов.
Поэтому он заслуживает титула отца математики. Все амбиции математической науки, одной из самых плодотворных в интеллектуальной истории человечества, выразил немецкий математик Давид Гильберт (1862-1943) в своем "Wir mussen wissen. Wir werden wissen" ("Мы должны знать. Мы будем знать!") во втором десятилетии XX века.
Пифагор или кто-то из его школы доказал теорему, носящую его имя, так что уже невозможно сомневаться в ее истинности. Данная теорема дает нам неизменное правило. В случае с прямоугольным треугольником это отношение всегда будет выполняться. Пифагор очень высоко поднял планку для последующих поколений: уже недостаточно было найти правило, проверить его на практике много раз и признать его истинным. Теперь в математике требовалось его доказывать. И хотя в некоторых случаях это чрезвычайно сложно, подход Пифагора оказался таким плодотворным, что математики, несмотря на все трудности, не готовы отказываться от него.
В течение нескольких веков греки следовали принципам Пифагора и стремились к строгому доказательству своих результатов. Но геометр, который жил при Птолемее I (367-283 до н. э.), военачальнике Александра Великого и царе Египта, пошел еще дальше. Речь идет о Евклиде (ок. 325-265 до н. э.), который не довольствовался тем, чтобы доказывать отдельные результаты, а амбициозно захотел собрать все математическое знание своего времени в одну систему.
Евклид понял, что любое доказательство основывается на предыдущих результатах, которые, в свою очередь, были доказаны ранее. Но данный процесс не может длиться до бесконечности — нужно исходить из некоторых истин, которые считаются очевидными. Их Евклид называл аксиомами. Также должны существовать четкие определения используемых элементов; в геометрии, например, это точки, линии, треугольники, круги и так далее. На этой основе Евклид создал единую систему, в которой доказанные и предполагаемые результаты (в последнем случае — аксиомы) служат основой для доказательства других результатов. В отличие от аксиом, эти новые результаты, требующие доказательства, получили название теорем.
Повторяя эту операцию снова и снова, мы можем построить математическую теорию, похожую на дерево, на котором с помощью небольшого количества корней можно породить потенциально бесконечное количество веток и листьев. Какие- то из них более важны (более крепкие и плодородные в своем потенциале создания новых ветвей), чем другие, но все они одинаково истинные.
Рассказывают, что Птолемей I потребовал у Евклида обучить его математике, при этом не желая тратить много сил и времени. Он хотел, чтобы ученый упростил свои объяснения, на что тот ответил:
"Ваше Величество, то, о чем Вы меня просите, невозможно; необходимо пережить и пройти через все необходимые шаги, чтобы понять науку. Не существует царской дороги в математику".
Невозможно преувеличить важность евклидовой геометрии. Практически все последующие поколения математиков использовали ее в качестве отправной точки. Сегодня любой математик, предлагающий новую теорию (или пытающийся переформулировать существующую), пользуется системой Евклида. До самого XX века его книга — знаменитые "Начала" — была самой популярной после Библии и считалась отправной точкой и необходимым объектом изучения в университетах.
Но несмотря на невероятные результаты, некоторые нюансы деятельности Пифагора и школы, которую он основал, сегодня могут показаться неприемлемыми. Пифагорейцы представляли собой что-то вроде тайной религии или секты и, возможно, не сильно отличались от других секретных древнегреческих обществ, например элевсинских или орфических мистерий. Так же как и посвященные элевсинцы, пифагорейцы не могли открывать природу своей деятельности.