Тени разума. В поисках науки о сознании - страница 50
6, 12, 18, 24, 30, 36, ….
Это легко объяснимо, если обратить внимание на то, что каждое новое шестиугольное число получается путем окружения предыдущего числа шестиугольным кольцом
причем число горошин в этом кольце обязательно будет кратно 6, а множитель при каждом увеличении шестиугольника на одно кольцо будет возрастать ровно на единицу.
Вычислим последовательные суммы шестиугольных чисел, увеличивая каждый раз количество слагаемых на единицу, и посмотрим, что из этого получится.
1 = 1, 1 + 7 = 8, 1 + 7 + 19 = 27, 1 + 7 + 19 + 37 = 64, 1 + 7 + 19 + 37 + 61 = 125.
Что же особенного в числах 1, 8, 27, 64, 125? Все они являются кубами. Кубом называют число, умноженное само на себя трижды:
1 = 1>3 =1 × 1 × 1, 8 = 2>3 = 2 × 2 × 2, 27 = 3>3 = 3 × 3 × 3, 64 = 4>3 = 4 × 4 × 4, 125 = 5>3 = 5 × 5 × 5, ….
Присуще ли это свойство всем шестиугольным числам? Попробуем следующее число. В самом деле,
1 + 7 + 19 + 37 + 61 + 91 = 216 = 6 × 6 × 6 = 6>3.
Всегда ли выполняется это правило? Если да, то никогда не завершится вычисление, необходимое для решения следующей задачи:
(E) Найти последовательную сумму шестиугольных чисел, начиная с единицы, не являющуюся кубом.
Думается, я сумею убедить вас в том, что это вычисление и в самом деле можно выполнять вечно, но так и не получить искомого ответа.
Прежде всего отметим, что число называется кубом не просто так: из соответствующего количества точек можно сложить трехмерный массив в форме куба (такой, например, как на рис. 2.1). Попробуем представить себе построение такого массива в виде последовательности шагов: вначале разместим где-нибудь угловую точку, а затем будем добавлять к ней, одну за другой, особые конфигурации точек, составленные из трех «плоскостей» — задней стенки, боковой стенки и потолка, как показано на рис. 2.2.
Рис. 2.1. Сферы, уложенные в кубический массив.
Рис. 2.2. Разберем куб на части — каждая со своей задней стенкой, боковой стенкой и потолком.
Посмотрим теперь на одну из наших трехгранных конфигураций со стороны, т. е. вдоль прямой, соединяющей начальную точку построения и точку, общую для всех трех граней. Мы увидим шестиугольник, подобный тому, что изображен на рис. 2.3. Точки, из которых складываются эти увеличивающиеся в размере шестиугольники, представляют собой, в сущности, те же точки, что образуют полный куб. То есть получается, что последовательное сложение шестиугольных чисел, начиная с единицы, всегда будет давать число кубическое. Следовательно, можно считать доказанным, что вычисление, требуемое для решения задачи (E), никогда не завершится.
Рис. 2.3. Каждую часть построения можно рассматривать как шестиугольник.
Кто-то, быть может, уже готов упрекнуть меня в том, что представленные выше рассуждения можно счесть в лучшем случае интуитивным умозаключением, но не формальным и строгим математическим доказательством. На самом же деле, перед вами именно доказательство, и доказательство вполне здравое, а пишу все это я отчасти и для того, чтобы показать, что осмысленность того или иного метода математического обоснования никак не связана с его «формализованностью» в соответствии с какой-либо заранее заданной и общепринятой системой правил. Напомню, кстати, о еще более элементарном примере геометрического обоснования, применяемого для получения одного общего свойства натуральных чисел, — речь идет о доказательстве истинности равенства a × b = b × a, приведенном в §1.19. Тоже вполне достойное «доказательство», хотя формальным его назвать нельзя.
Представленное выше рассуждение о суммировании последовательных шестиугольных чисел можно при желании заменить более формальным математическим доказательством. В основу такого формального доказательства можно положить принцип математической индукции, т.е. процедуру установления истинности утверждения в отношении всех натуральных чисел на основании одного-единственного вычисления. По существу, этот принцип позволяет заключить, что некое положение P(n), зависящее от конкретного натурального числа n (например, такое: «сумма первых n шестиугольных чисел равна