Тени разума. В поисках науки о сознании - страница 62

требуется так много знаков, что даже совсем небольшое увеличение их количества выводит задачу за пределы возможностей нашего компьютера или человека. При этом, поскольку мы знаем об обоснованности алгоритма A, мы знаем и о том, что рассматриваемое вычисление C_>k(k) не завершается, даже если реальное выполнение этого вычисления представляет для нас проблему. Соображение (I), однако, предполагает и возможность того, что вычисление A окажется столь колоссально сложным, что одно лишь его описание вплотную приблизится к доступному воображению человека пределу сложности, а сравнительно малое увеличение количества составляющих его знаков даст в результате вычисление, превосходящее всякое человеческое понимание. Что бы мы о подобной возможности ни думали, я все же считаю, что любой столь впечатляющий набор реализуемых в нашем гипотетическом алгоритме А вычислительных правил окажется, вне всякого сомнения, настолько сложным, что мы не в состоянии будем знать наверняка, является ли он обоснованным, даже если нам будут точно известны все эти правила по отдельности. Таким образом, наше прежнее заключение остается в силе: при установлении математических истин мы не применяем познаваемо обоснованные наборы алгоритмических правил.

Не помешает несколько более подробно остановиться на сравнительно незначительном увеличении сложности, сопровождающем переход от A к C_>k(k). Помимо прочего, это существенно поможет нам в нашем дальнейшем исследовании (в §§3.19 и 3.20). В Приложении А предложено явное описание вычисления C_>k(k) в виде предписаний для машины Тьюринга, рассмотренных в НРК (глава 2). Согласно этим предписаниям, под обозначением T_>m понимается «m-я машина Тьюринга». Для большего удобства и упрощения рассуждений здесь мы также будем пользоваться этим обозначением вместо «C_>m», в частности, для определения степени сложности вычислительной процедуры или отдельного вычисления. В соответствии с вышесказанным, определим степень сложности μ машины Тьюринга T_>m как количество знаков в двоичном представлении числа m (см. НРК, с. 39); при этом степень сложности некоторого вычисления T_>m(n) определяется как большее из двух чисел μ и ν, где ν — количество двоичных знаков в представлении числа n. Рассмотрим далее приведенное в Приложении А явное предписание для составления вычисления C_>k(k) на основании алгоритма A, заданного в упомянутых спецификациях машины Тьюринга. Полагая степень сложности A равной α, находим, что степень сложности явного вычисления C_>k(k) не превышает числа α + 210 log_>2(α + 336) — а это число, в свою очередь, оказывается лишь очень ненамного больше собственно α, да и то только тогда, когда число а очень велико.

В вышеприведенных общих рассуждениях имеется один потенциально спорный момент. В самом деле, какой смысл рассматривать вычисления, слишком сложные даже для того, чтобы просто их записать, или те, что, будучи записанными, возможно, потребуют на свое действительное выполнение промежуток времени, гораздо больший предполагаемого возраста нашей Вселенной, даже при условии, что каждый шаг такого вычисления будет производиться за самую малую долю секунды, какая еще допускает протекание каких бы то ни было физических процессов? Упомянутое выше вычисление — то, результатом которого является последовательность из 2^>2>65536 единиц и которое завершается лишь после выполнения этой задачи, — представляет собой как раз такой пример; при этом позицию математика, позволяющего себе утверждать, что данное вычисление является незавершающимся, можно охарактеризовать как крайне нетрадиционную. Однако в математике существуют и некоторые другие точки зрения, пусть и не до такой степени нетрадиционные, — но все же решительно презирающие всяческие условности, — согласно которым известная доля здорового скептицизма в отношении вопроса об абсолютной математической истинности идеализированных математических утверждений отнюдь не помешает. На некоторые из них, безусловно, стоит хотя бы мельком взглянуть.