Teopeма Гёделя - страница 14

нашей системы мы будем называть теперь любую формулу, получаемую посредством последовательного применения правил преобразования к аксиомам. Формальным «доказательством» мы будем называть любую конечную последовательность формул рассматриваемого исчисления, каждая из которых либо является аксиомой, либо выводима из предшествующих формул данной последовательности с помощью правил преобразования[1].

Алфавит логики высказываний (называемой часто «пропозициональным исчислением») очень несложен. Он состоит из переменных и констант. Переменные, поскольку вместо них можно подставлять предложения (sentences) системы, называют сентенциональными (чаще — пропозициональными) переменными. В качестве переменных мы будем использовать буквы «p», «q», «r», …, «p_>1», «p_>2» …, «q_>1», «q_>2» ….

Постоянные символы (константы) — это «пропозициональные» связки и знаки препинания. Мы будем употреблять следующие пропозициональные связки: «~» читается как «не»; ˅ — «или»; «ﬤ» — «если…, то…»; «·» — «и»; знаки препинания: «(» — «левая скобка», «)» — «правая скобка».

^{>Действительно, перечисленные связки возникли как сокращенные обозначения для указанных в скобках выражений; более того, при устном чтении формул исчисления высказываний этими выражениями часто называют соответствующие формальные символы (скажем, формула «~ p ˅ q» читается как «не p или q» и т. п.). Следует, однако, твердо помнить, что эти «названия» связок не нужны для описания исчисления (неинтерпретированного!) как такового; они относятся к его метатеории, и, скажем, электронно-вычислительная машина, производящая операции с формулами исчисления высказываний как с таковыми, в такого рода «названиях» не нуждается. — Прим. перев.}

Правила образования указывают, какие именно комбинации элементарных символов алфавита мы будем считать формулами нашего исчисления. Прежде всего формулой, по определению, является каждая пропозициональная переменная. Далее, если «S» обозначает некоторую формулу[2], то ее «формальное отрицание» «~ (S)» также есть формула. Аналогично, если «S_>1» и «S_>2»суть обозначения некоторых формул, то выражения «(S_>1) ˅ (S_>2)», «(S_>1) ﬤ (S_>2)» и «(S_>1)·(S_>2)» также суть формулы.

Примеры формул:

«p», «~ p», «(р) ﬤ (q)», «((q) ˅ (r)) ﬤ (p)».

Однако выражения «(p)(~ q)» или «((р)ﬤ(q))˅» формулами не являются, так как они не удовлетворяют приведенному здесь определению формулы[3].

Правил преобразования имеется два. Первое из них — правило подстановки (вместо пропозициональных переменных) — гласит, что из произвольной формулы можно вывести другую формулу посредством одновременной подстановки некоторой формулы вместо некоторой входящей в исходную формулу пропозициональной переменной, причем такая подстановка (одна и та же) должна производиться вместо каждого вхождения выбранной переменной. Например, из формулы «p ﬤ p» можно, подставив вместо переменной «p» переменную (а тем самым — формулу) «q», вывести формулу «q ﬤ q»; подставив в ту же исходную формулу вместо «p» формулу «p ˅ q», мы выведем формулу «(p ˅ q) ﬤ (p ˅ q)» и т. п. Или, если интерпретировать «p» и «q» как некоторые русские предложения, то из «p ﬤ p» можно, например, получить предложения «Лягушки квакают ﬤ лягушки квакают», «(Летучие мыши слепы ˅ летучие мыши едят мышей) ﬤ (летучие мыши слепы ˅ летучие мыши едят мышей)» и т. п. Второе правило преобразования — это так называемое правило отделения (или modus ponens). Согласно этому правилу из любых двух формул, имеющих соответственно вид «S_>1» и «S_>1 ﬤ S_>2», можно вывести и формулу «S_>2». Например, из формул «p ˅ ~ p» и «(p ˅ ~ p) ﬤ (p ﬤ p) мы можем вывести «p ﬤ p».

Наконец, аксиомами нашего исчисления (по существу теми же, что в Principia Mathematica[4]являются следующие четыре формулы[5];

1. (p ˅ p) ﬤ p

[если p или p, то p];

2. p ﬤ (p ˅ q)

[если p, то p или q];

3. (p ˅ q) ﬤ (q ˅ p)

[если p или q, то q или p];

4. (p ﬤ q) ﬤ ((r ˅ р) ﬤ (r ˅ q))

[если p влечет q, то (r или p) влечет (r или q)].

Здесь вначале приведены аксиомы, а в квадратных скобках указаны их «переводы» на обычный язык[6].

Каждая из приведенных аксиом представляется довольно-таки «очевидной» и тривиальной.