Том 12. Числа - основа гармонии. Музыка и математика - страница 18

Сохраняя горизонтальное расположение символов слева направо, подобно тому как располагаются символы на письме в западных языках, мы можем добавить к записи вертикальные линии в конце каждого такта. Это позволяет упростить нотацию:

Так как доли исполняются равномерно и в записи присутствуют вертикальные линии, промежутки между нотами необязательно должны строго соответствовать длительности пауз между ними.

Отсутствие масштаба

Расположение элементов партитуры по горизонтали не соответствует какому-то конкретному масштабу. Это означает, что длительность нот и пауз необязательно зависит от длительности промежутков между нотами на партитуре. Артикуляция выполняется в соответствии с длительностью, которую указывают нота или пауза, а не в зависимости от того, насколько близко расположена следующая нота.

Два такта, изображенные на рисунке, одинаковы:

Однако важно помнить, что при записи двух или более голосов рекомендуется выравнивать по вертикали ноты, исполняемые одновременно, чтобы упростить чтение партитуры. Так, графическое представление трех одновременно исполняемых ритмических фраз будет выглядеть следующим образом:

Кувшин придает форму пустоте, музыка — молчанию.

Жорж Брак

Меня обвиняют в том, что я математик. Но я не математик, я геометр.

Арнольд Шёнберг

Объекты природы имеют подчас очень любопытную форму. При внимательном математическом анализе становится понятно, что растения, животные, кристаллические структуры и звуки подчиняются законам алгебры и геометрии. В природе часто встречаются сферы, циклы, спирали, равно как и симметрия. Художники находят вдохновение в причудливых формах природы и выстраивают свои произведения в новом порядке, подчиняющемся законам эстетики.

Музыка создает образы в представлении слушателей. Мелодии обычно сравнивают с рисунками из точек и линий. Мы уподобляем многие свойства музыки свойствам реальных предметов в пространстве: высокие звуки представляются нам узкими и вытянутыми вверх, низкие, напротив, невысокими и широкими. Подобные представления отчасти отражаются в партитурах. Например, последовательность звуков, высота которых непрерывно возрастает, называется восходящей.

Благодаря этому партитура приобретает дополнительную ценность, так как идея композитора дополняется изображениями, подобно тому как текст книги дополняется иллюстрациями. Это принимали во внимание многие композиторы, когда создавали свои шедевры. История музыки знает немало примеров партитур, в которых слились воедино музыка, письмо и геометрия. (Чтобы вы смогли лучше понять примеры, приводимые в этой главе, советуем сначала ознакомиться с основными элементами современной музыкальной нотации, о которых рассказывается в приложении I.)

Элементы нотной записи

Современная система нотной записи — результат эволюционного процесса, целью которого было найти способ зафиксировать мимолетное искусство на бумаге. С течением времени нотная запись дополнялась новыми символами, изменялись существующие. Интересно проанализировать знаки и символы нотной записи с точки зрения математики и логики.

Нотный стан

Музыка записывается на бумаге с помощью нотного стана, который можно считать графиком изменения высоты звуков с течением времени. Нотный стан можно представить как систему координат, на горизонтальной оси которой обозначается время, на вертикальной — высота нот. Высота обозначается с помощью равноудаленных друг от друга параллельных прямых. В современной нотации используется пять прямых.

Музыкальное «расстояние» между двумя соседними линиями (или между соседними промежутками между линиями) равно интервалу в одну терцию. Линию и ближайший к ней промежуток разделяет интервал в одну секунду. Таким образом определяются пять линий и четыре промежутка между ними, которые нумеруются снизу вверх:

Линии и промежутки соответствуют белым клавишам пианино, а расположение нот определяется частотой соответствующих звуков. Так, звуки высокой частоты (высокие звуки) располагаются на верхних линиях нотного стана. Для обозначения более низких звуков используются добавочные линии; соответственно, образуются дополнительные промежутки между ними. Так, дополнительными промежутками являются свободные места над 5-й и под 1-й линиями.