Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии - страница 3

В отличие от теоретического направления математической биологии, пионером которого был Рашевски, работы других ученых, например Карла Людвига фон Берталанфи, носили более прикладной характер. Фон Берталанфи родился в Австрии в 1901 году, учился в университетах Инсбрука и Вены, работал в Лондонском университете, различных канадских институтах, а закончил карьеру в Университете штата Нью-Йорк. Он внезапно умер от сердечного приступа в том же 1972 году, что и его коллега Рашевски. Хотя основным вкладом фон Берталанфи в науку стала общая теория систем, о которой мы поговорим позже, ему принадлежат и различные открытия в математической биологии. Так, в 1938 году он сформулировал знаменитое уравнение роста, которое в наши дни применяется в рыбоводческих хозяйствах.

Фон Берталанфи связал размер рыбы L(t) с ее возрастом t (L_>K — максимальный размер, L_>0 — начальный размер, k — постоянная роста):

L(t) = L_>K — (L_>K — L_>0)e^>-kt.

Теория эволюции

Эволюция — одна из важнейших тем биологии, которой уделяется большое внимание и в математической биологии с момента ее зарождения в 1930-е годы. В целом эволюция — это физиологические и другие изменения, претерпеваемые живыми существами с течением времени. По прошествии миллионов лет в результате этих изменений, а также изменений окружающей среды одни виды выживают, другие — вымирают.

Известно, что изменения живых существ вызваны определенными биологическими механизмами. Среди всех теорий, известных на сегодняшний день, наибольший успех имела теория естественного отбора Чарльза Дарвина, представленная им в 1859 году, в расцвет викторианской эпохи, в книге «Происхождение видов».

На этой фотографии Чарльз Дарвин изображен в возрасте 51 года, вскоре после публикации своего революционного труда «Происхождение видов».

Согласно теории Дарвина, живые существа, будь то растения, животные или микроорганизмы, представляют собой различные решения задачи адаптации к окружающей среде. Под окружающей средой понимаются различные условия существования, начиная от океанов или озер и заканчивая наземно-воздушной средой. При этом в каждой отдельно взятой среде наблюдается большое разнообразие живых существ: например, джунгли, дубовый лес или пустыня очень отличаются между собой. Согласно Дарвину, чем лучше «решение», которое представляет собой живой организм, точнее биологический вид, тем лучше он приспособлен. А чем выше приспособленность организма, тем больше его шансы на выживание и, следовательно, на достижение репродуктивного возраста. Репродукция, по Дарвину, является наградой: если организму удалось размножиться, гены счастливчика будут переданы следующему поколению.

Но как живые организмы находят новые решения в изменяющейся или неблагоприятной среде? Ответить на этот вопрос помогает генетика. За поиск новых решений отвечают механизмы, случайным образом меняющие генетический код, — мутации.

Чем выше изменение генов в определенных пределах, тем лучше для вида: его представители получают большой набор возможных «решений», который поможет им адаптироваться к будущим изменениям окружающей среды. По Дарвину, окружающая среда отбирает виды, наиболее пригодные для обитания в ней.

Развитие математических методов теории эволюции

В второй половине XIX века, после публикации книги Дарвина, в Великобритании возникла английская биометрическая школа, к которой принадлежали такие видные ученые, как Фрэнсис Гальтон и Карл Пирсон. Представители этой школы впервые применили в биологии методы статистики. Позднее, в 1930 году, Рональд Эйлмер Фишер, внесший огромный вклад в развитие биоматематики и биостатистики, сформулировал основную теорему естественного отбора, в которой дарвиновская теория эволюции путем естественного отбора объясняется на языке математики.

Согласно Фишеру, при определенных условиях и за определенное время t ритм или скорость, с которой повышается средняя приспособленность конкретного вида, равна разнообразию возможных значений генов. Обозначим средний рост приспособленности через ΔW¯ среднюю приспособленность — через W¯ множество возможных значений генов (генных вариаций) — через