Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии - страница 8
В 1970-х годах ученые начали принципиально иначе рассматривать биологические явления, изменилась и «математика жизни». Решающее влияние на этот процесс оказали идеи Ильи Романовича Пригожина, лауреата Нобелевской премии по химии 1977 года. Согласно его теории диссипативных структур, системы, которые непрерывно обмениваются материей и энергией с окружающей средой (к ним относятся сложные химические реакции или ураганы), функционируют благодаря тому, что далеки от равновесного состояния. Одной из характеристик диссипативных систем является образование сложных структур, которые порой кажутся хаотичными. Эта особенность привлекла внимание ученых, вновь пересмотревших решения классических задач биологии. Биоматематики вернулись к давно известным проблемам, интерпретировав их в соответствии с теориями Пригожина. В качестве примера можно привести узоры, изученные Тьюрингом. По мнению ученого, однородная ткань, состоящая из очень похожих друг на друга зародышевых клеток, например клеток кожи позвоночных, находится в равновесном состоянии. Но как только между клетками начинают возникать отличия, на шкуре животного проявляется узор из полосок или пятен. Сохранение этого узора в течение всей жизни животного Тьюринг и Пригожин трактовали как ситуацию, далекую от равновесного состояния. Как следствие, уравнения реакции — диффузии стали одним из основных формальных инструментов, которые позволили биоматематикам изучить некоторые диссипативные системы, например уже упомянутые узоры на шкуре некоторых позвоночных.
Бельгийская марка, выпущенная в честь Ильи Пригожина (1917–2003) за два года до смерти этого выдающегося русского ученого.
Еще одной характеристикой систем, далеких от равновесного состояния, являются их колебания. В качестве примера приведем знаменитые уравнения «хищник — жертва» Лотки — Вольтерры. К сожалению, не существует универсальных принципов, управляющих формированием описанных узоров в диссипативных системах. Однако если система находится в равновесии, образования узоров не происходит. К примеру, трехмерное представление белка всегда остается неизменным. Почему? Ответ прост: белок находится в наиболее стабильном состоянии, требующем минимальных энергозатрат. Еще один пример системы, находящейся в равновесном состоянии, — химическая реакция:
А + В —> С + D.
Если вещества А и В преобразуются в С и D с той же скоростью, что С и D преобразуются обратно в А и В, то реакция находится в равновесном состоянии. Предположим, что равновесие оказалось нарушено. Если скорость, с которой вещества А и В преобразуются в С и D, не равна скорости протекания обратного процесса, реакция будет находиться в неравновесном состоянии. Общих правил, описывающих неравновесные, диссипативные системы, не существует, как и общего математического метода их изучения, поэтому используется компьютерное моделирование — особенно полезное с учетом того, что в жизни встречается множество примеров диссипативных систем. Описанные выше идеи постепенно сформировали современное видение биологии и, как следствие, способствовали ее математической формализации.
Изучение систем, находящихся в неравновесном состоянии, и поиск вычислительных методов, позволяющих смоделировать подобные системы, стали популярны в 1980-е и 1990-е годы при изучении нелинейных систем, то есть систем, поведение которых нельзя представить как сумму поведений их частей. Основная причина этого в том, что части нелинейных систем взаимодействуют друг с другом. Вновь рассмотрим примитивный живой организм z и предположим, что он имеет всего два органа — х и у. Если поведение этого организма нелинейное, то жизненное состояние организма f(z) будет равно, к примеру, произведению, а не сумме состояний его органов f(х) и f(у). В качестве примера из повседневной жизни можно привести прием лекарств.
Если вы примете два лекарства или более, их совокупный терапевтический эффект не будет равен сумме эффектов отдельных медикаментов. Как правило, они вступают в реакцию между собой, причем часто во вред организму.