Том 3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - страница 13
* * *
Действительно, некоторые группы простых чисел удалось описать (в общей сложности несколько десятков), и это позволило добиться определенного прогресса.
Мы остановимся на некоторых необычных парах простых чисел, имеющих свойства, которые помогут нам лучше представить математические трудности, связанные с этим непредсказуемым множеством.
Два простых числа не могут идти друг за другом, так как каждое простое число является нечетным. Следовательно, между двумя из них должно быть четное число, которое не является простым. Таким образом, два простых числа всегда разделены по крайней мере одним числом. Исключение составляют числа 2 и 3, так как 2 является единственным четным простым числом.
В первой сотне натуральных чисел мы можем найти следующие пары чисел, отличающихся на две единицы:
(3, 3), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (39, 61) и (71, 73).
Такие простые числа называются «числами-близнецами» или просто «парными».
Парные числа могут быть описаны выражением (р, р + 2), где р — простое число. Ниже мы приводим список всех парных чисел из первой тысячи:
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29,31),
(41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109),
(137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199),
(227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313),
(347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523),
(369, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661),
(809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).
Мы знаем, что простые числа-близнецы по мере увеличения встречаются в ряду натуральных чисел все реже. Однако компьютерные вычисления показывают, что парные числа продолжают встречаться даже среди необыкновенно больших чисел.
А так как существует бесконечное количество простых чисел, можно выдвинуть гипотезу о существовании бесконечного множества чисел-близнецов, но это еще никому не удалось доказать.
Еще одна замечательная группа простых чисел, которая встречается в первой сотне натурального ряда, содержит три числа: 3, 5 и 7. Они могут быть записаны как (р, р + 2, р + 4), где р — простое число. Эта группа простых чисел состоит из так называемых «троек». На самом деле нет никакой необходимости давать им специальное название, так как существует только одна такая тройка. Это доказанный результат. К счастью, этот вопрос решен, в противном случае эта группа могла бы породить еще несколько недоказанных гипотез.
Самыми большими известными числами-близнецами (открытыми в 2009 г.) являются числа 65 516 468 355 х 2>333333—1 и 65 516 468 355 х 2>333333 + 1, каждое из которых состоит из 100 355 цифр!
* * *
БЕСКОНЕЧНЫЕ РАЗДЕЛЕНИЯ
Парные числа породили целый ряд гипотез в дополнение к той, согласно которой их множество бесконечно. Одна из них носит общий характер и была сформулирована в 1849 г. французским математиком Альфонсом де Полиньяком(1817–1890). Он предположил, что для любого числа С найдется бесконечное количество пар простых чисел, разделенных 2С составными числами.
Например, существует бесконечное множество простых чисел, разделенных четырьмя составными числами, шестью составными числами, восемью составными числами и так далее. При С = 1 эта гипотеза является гипотезой о бесконечном количестве чисел-близнецов.
* * *
Мы уже говорили о той важной роли, которую информационные центры играют на протяжении всей истории науки. Сейчас мы остановимся еще на одном аспекте, который имел особое значение для истории математики, особенно для теории чисел: на связи магии и математики. Под магией мы подразумеваем историческую математическую традицию, называемую арифмологией или (чаще) нумерологией.
Связь между математикой и нумерологией аналогична связи между астрономией и астрологией или между химией и алхимией. В настоящее время эти пары практически не пересекаются, но на протяжении веков эти связи были достаточно прочны и не могут быть проигнорированы, если мы хотим понять, как развивалась каждая область в разные исторические периоды.
Числа, и в особенности простые числа, всегда были предметом не только математических, но и философских исследований, и даже элементами религиозных культов.