Том 3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - страница 33
Возвращаясь к примеру, в котором мы были двумерными существами, покажем методы, с помощью которых такие существа могут определить, как выглядит сфера. Идея заключается в том, чтобы рассмотреть сечения сферы при пересечении ее с плоскостью, в которой мы живем и из которой мы эту сферу наблюдаем. Когда сфера просто касается нашей плоскости, мы видим лишь точку. Потом появляются концентрические круги, которые по мере прохождения сферы через плоскость сначала расширяются, а потом сужаются, пока снова не превратятся в точку.
Следует подчеркнуть, что в этом примере мы четко представляем ситуацию, потому что мы в состоянии воспринимать трехмерные объекты, чего нельзя сказать о нашем восприятии объектов в четырехмерном пространстве. Тем не менее, пример иллюстрирует то, что происходит в месте пересечения объекта и нашей плоскости. Этот момент очень важен, поскольку он тесно связан с так называемыми нулями функции.
Например, выражение — (5x/2) + 5 = 0 можно легко превратить в функцию, записав в виде:
γ = — (5x/2) + 5
Если мы построим ее график, то получим прямую линию. Точка пересечения этой линии с горизонтальной осью (х = 2) является решением уравнения у = 0:
Аналогично если у нас есть квадратное уравнение х>2 + х — 2 = 0 и мы построим график функции f(x) = х>2 + х — 2, то увидим, что он пересекает ось X (у = 0) в двух точках, которые являются решением уравнения: х = 1 и х = —2.
Если мы обобщим задачу на три измерения, то, например, уравнение х>2 + у>2 — 4 = 0 представляется функцией f(х, у) = х>2 + у>2 — 4, графиком которой является параболоид. Его пересечение с плоскостью XY дает окружность с радиусом 2, как видно на рисунке на следующей странице. Все точки этой окружности являются решением нашего уравнения.
* * *
КУЛЬТУРНОЕ НАСЛЕДИЕ
Если бы мы дали такое определение: «Функция — это количество, состоящее из переменной и произвольных постоянных», мы бы вряд ли сдали экзамен по элементарной математике, так как такое определение показывает, что у нас нет ясного представления о функции. Однако эта фраза почти дословно встречается в одном из сочинений величайшего математика XVIII в. Якоба Бернулли. На самом деле формулировка определения функции — не такая уж простая задача, с чем согласится любой школьник. Этот факт свидетельствует о чрезвычайной ценности математики как культурного наследия.
* * *
Таким образом, когда мы используем описанный выше трюк, чтобы «увидеть» форму четырехмерного объекта, на самом деле мы хотим лишь получить четкое представление о том, как четырехмерный объект пересекается с трехмерным пространством. Это не даст нам точного представления о форме — да мы и знаем, что для нас это невозможно, — но это даст нам решения соответствующего уравнения.
И, как мы увидим в следующей главе, это именно то, что предложил Риман, когда анализировал дзета-функцию, которая в конечном итоге поможет навести порядок во множестве простых чисел.
Глава 6
Две стороны медали
Немецкий математик Бернхард Риман (1826–1866) был образцом математической строгости, а индиец Сриниваса Рамануджан (1887–1920) является примером торжества чистейшей интуиции. Они оба занимались простыми числами, и оба имели успехи и неудачи. В любом случае, их жизнь и научная деятельность ярко иллюстрируют два типа математической гениальности.
Риман был задающим ритм музыкантом, которому аплодирует публика, состоящая из простых чисел. Однако его ритм был очень сложен. Научные открытия, особенно в области математики, во многом зависят от уже разведанной территории, от уже известных знаний. Первооткрыватель становится кем-то вроде горного проводника. Когда просто бродишь по миру чисел, важно не потерять направления, но совсем другое дело — начать восхождение. Такие походы требуют больших усилий, и продвигаться нужно более медленными темпами, чтобы восхождение было не слишком утомительным. Однако наступает момент, когда для дальнейшего восхождения требуется определенная подготовка и соответствующее оборудование.
Восхождение на двухкилометровую вершину вовсе не то же самое, что восхождение на высоту 4000 метров. С Риманом мы, безусловно, находимся в четырехкилометровой категории.