Том 3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - страница 7
Вполне вероятно, что со временем при исследовании поведения животных найдутся еще примеры видов, которые обладают умением считать. Нас не должна смущать простота приведенных примеров, ибо факт остается фактом: несмотря на то что математические понятия, такие как простые числа, являются творением человека, исследователи в разных областях науки могут привести примеры существования этих понятий в природе независимо от нас.
Самки некоторых одиночных ос откладывают яйца в норках, где также складывают несколько парализованных гусениц, которые будут служить пищей для личинок осы после того, как те вылупятся. Самое удивительное, что эти осы знают, из каких яиц вылупятся мужские особи, а из каких женские, и оставляют для них определенное количество гусениц.
Поиск простых чисел всегда был сложной задачей. Один из первых известных методов приписывают Эратосфену из Кирены (273–194 до н. э.), древнегреческому математику, астроному и географу, который также заведовал Александрийской библиотекой. Метод получил название решета Эратосфена. Давайте посмотрим, как с помощью этого метода можно найти простые числа в первой сотне натуральных чисел.
Во-первых, составим таблицу со всеми натуральными числами от 1 до 100. Затем вычеркнем все числа, кратные двум: 4, 6, 8, 10 потом вычеркнем все числа, кратные трем: 6 (уже вычеркнули), 9, 12, 15. Затем проделаем то же самое для чисел, кратных пяти и семи.
Остались только простые числа.
Обратите внимание, что «просеивание» закончилось на числе 10, квадратном корне из 100. В общем случае, чтобы найти все простые числа, меньшие, чем заданное число N, нужно «просеять» все числа, которые меньше или равны квадратному корню из N. Это и дает метод нахождения простых чисел, который используется и сегодня, спустя более чем 2000 лет после изобретения, для поиска «малых простых чисел»: так называются простые числа, которые меньше 10 млрд.
* * *
РАЗМЕРЫ ЗЕМЛИ
Имя Эратосфена связано с методом нахождения простых чисел. Однако этот метод вовсе не является его самым важным достижением. На самом деле Эратосфен вошел в историю науки как первый человек, вычисливший размер Земли. Используя методы, доступные в III в. до н. э., он смог посчитать длину полярной окружности с погрешностью менее одного процента.
Карта мира, каким он был известен Эратосфену. Греческий ученый был первым, кто разделил изображение мира на равные части, проведя параллели, хотя его меридианы были расположены неравномерно.
* * *
Если мы хотим изучать природу простых чисел, чтобы найти соотношения, связывающее их, или правила, позволяющие предсказать, когда появится следующее простое число, то в первую очередь нам необходимо иметь довольно большой набор простых чисел. В приведенном ниже списке, полученном с помощью решета Эратосфена, можно видеть простые числа из первой тысячи натуральных чисел.
С первого взгляда видно, что простые числа совершенно непредсказуемы. Например, между 1 и 100 простых чисел больше, чем между 101 и 200. Всего в первой тысяче 168 простых чисел. Можно предположить, что если продолжить нашу таблицу, то с каждой тысячей количество простых чисел будет увеличиваться. Но это не так. Уже известно, что, например, среди тысячи чисел между 10>100 и 10>100 + 1000 находится лишь два простых числа. И эти числа состоят более чем из ста цифр!
Казалось бы, чтобы найти закономерность, надо составить таблицу, которая содержит все простые числа. Все? А что, если их очень много? Хотя, имея в распоряжении современные методы, можно проделать с числами всевозможные тесты, позволяющие найти закономерности. Ведь понятно, что в случае конечных множеств, даже очень больших, закономерность может быть найдена или, по крайней мере, можно придумать правило, которое для данного множества будет работать. Однако ситуация радикально меняется, если мы имеем дело с бесконечными множествами, поэтому мы должны сначала выяснить, является ли множество простых чисел бесконечным. Эта задача также была решена Евклидом. Его метод так остроумен, элегантен и прост, что стоит рассмотреть его подробнее.