У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте - страница 6
На основе аристотелевского принципа о том, что целое больше любой его части, мы должны сделать вывод, что чисел больше, чем квадратных чисел, поскольку они составляют лишь часть.
Но, говорил Галилей, если бы последовательности 1, 2, 3, 4, 5... и 1, 4, 9, 16, 25... были бесконечны в действительности, было бы возможно идеально установить пары между ними обеими. Числу 1 соответствовало бы число 1, числу 2-4, числу 3-9 и так далее.
В III веке до н. э. Евклид Александрийский написал «Начала», самую влиятельную математическую книгу всех времен (настолько, что вплоть до начала XIX века ее использовали как учебник в некоторых европейских университетах). Эта работа состоит из 13 книг, из них седьмая, восьмая и девятая посвящены арифметике. В суждении 20 девятой книги провозглашается, что существует бесконечное число простых чисел. Интересно отметить, как выражено это утверждение: «Существует больше простых чисел, чем любое предложенное [конечное] количество простых чисел». То есть в утверждении Евклида речь идет о потенциальной, а не об актуальной бесконечности. Он не говорит о том, что «существует бесконечное количество простых чисел», но «если задано любое конечное количество простых чисел, всегда существует на одно больше».
Статуя Евклида в Музее естественной истории Оксфордского университета.
1... 1
2... 4
3... 9
4... 16
5... 25
Каждое число первой последовательности точно соответствовало бы другому числу второй, при этом не было бы ни недостатка, ни избытка ни с одной из сторон. Если можно идеально установить пары, это означает, что существует столько же квадратных чисел, сколько и чисел всего, а это противоречит сказанному: часть была бы равна целому, а не меньше его. Актуальная бесконечность, заключил Галилей, это абсурд.
Почти через 250 лет немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) столкнулся с той же самой проблемой, но его вывод был абсолютно противоположным. Кантор решил, что аристотелевский принцип omne totum est mains sua parte — «целое больше его частей» — нужно отбросить, когда речь идет о бесконечности.
Третий пример — отрывок из письма 1831 года немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855):
«Я протестую против употребления бесконечной величины как чего-то завершенного, что в математике никогда недопустимо. Бесконечность не нужно понимать буквально, когда речь идет собственно о пределе, к которому сколь угодно близко приближаются определенные отношения, когда другие принимаются неограниченно возрастающими».
Гаусс говорил, что бесконечность — это только величина (всегда конечная), которой позволено расти без ограничений, и ее нельзя понимать как нечто завершенное. Снова мы наблюдаем отказ от актуальной бесконечности.
Это только три примера из многих, о которых можно было бы упомянуть. Однако всего через 40 лет после этого письма Георг Кантор вынужден был ввести в математику и философию монстра, много раз отвергнутого, — актуальную бесконечность.
Сочинение Архимеда «Послание к Эратосфену о методе», или «Метод механических теорем», считалось утерянным в веках.
По различным упоминаниям было известно, что в нем описывались физические рассуждения, которые позволили предположить геометрические теоремы, затем доказанные со всей логической строгостью в других книгах автора. Однако точное содержание работы не было известно до 1906 года, когда, к всеобщему удивлению, совершенно случайно в Стамбуле была обнаружена ее копия.
Это был палимпсест, то есть рукопись, нанесенная на пергамент поверх другого текста.
К счастью, первоначальный слой стерли не полностью, и оригинальную работу частично удалось восстановить. Процесс возобновился в начале XXI века, когда группе экспертов, располагающих современными приборами для освещения и анализа изображений, удалось продвинуться в восстановлении «Метода...». Часть их открытий означает, что Архимед работал с актуальной бесконечностью. Эта история рассказана в детективе Ревьеля Нетца и Уильяма Ноэля «Кодекс Архимеда». Согласно полученным данным, чтобы сравнить объем двух тел, Архимед представлял их разрезанными на бесконечное количество полосок бесконечно малой ширины и делал вывод о том, что оба тела равны, если можно установить пары между полосками, образующими эти тела. Это предполагает не только работу с актуальной бесконечностью, но и допущение сравнения между двумя бесконечностями посредством установления пар между их компонентами, что сделал Кантор в конце XIX века. Если эти открытия подтвердятся, придется переписать часть истории бесконечности и признать, что Архимед ранее Кантора использовал актуальную бесконечность.