Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.) - страница 4
Первые две функции наиболее очевидны. Чтобы уметь считать, мы должны присвоить предметам численные значения, другими словами, дать им номер. Имея ряд пронумерованных объектов, мы займемся следующей естественной задачей: размещением их по порядку. Другие две функции появились значительно позже, так как они связаны с задачами большей сложности. Для измерения необходимы стандарты — набор единиц измерения — чтобы иметь возможность эффективно сравнивать разные результаты измерений. Позже остальных появилась еще одна функция чисел: кодирование. Хоть она и возникла самой последней, но без кодирования, более известного в наши дни как шифрование, невозможно представить современное общество.
БРАХМАГУПТА (ок. 598–660)
Индийский математик и астроном Брахмагупта примерно в 628 г. опубликовал книгу под названием «Брахма-спхуга-сиддханта» («Исправленный трактат Брахмы»). Это была первая работа, в которой использовалась десятичная система счисления, практически идентичная современной. Тем не менее, сегодняшний способ записи десятичных чисел является достижением арабской цивилизации.
НОЛЬ — САМОЕ ВАЖНОЕ ЧИСЛО
Краеугольным камнем нашей системы счисления является число ноль. Математик и историк Жорж Ифра писал: «Без числа ноль и без позиционной системы счисления мы бы никогда не имели ни механизации, ни автоматизированных вычислений».
Чтобы показать важную роль числа ноль, давайте выполним простое умножение 138 на 570, используя непозиционную систему счисления древних римлян. В этой системе нет цифры ноль; следовательно, мы будем умножать CXXXVIII на DLXX. Даже зная, с чего начать, мы не поняли бы точно, когда нам остановиться. Такие вычисления оказались бы нелегким и бесконечным процессом. А ведь это сравнительно простая операция умножения двух трехзначных чисел. Этот пример показывает, что ключевым свойством современной системы счисления является не просто ее основание (10), но также и то, что значение каждой цифры зависит от ее обозначения (1, 2 и т. д.) и положения относительно других цифр (сравните, например, 12 с 21). Позиционной десятичной системе, таким образом, требуется всего десять цифр для записи любого числа.
Но самым важным является наличие особого символа, обозначающего отсутствие какого-либо количества. Таким образом, чтобы показать, что ничего нет, мы не говорим «нет никакого количества», а говорим «есть нулевое количество». И вместо того, чтобы ничего не писать, мы пишем 0. (Современный о-образный символ появился от простой точки, которая использовалась вначале.)
Присвоение значения отсутствию количества означает отождествление несуществования чего-либо с отсутствием чего-либо, что могло бы присутствовать. Это может показаться довольно бессмысленным, но это неразрывно связано с ростом торговли и коммерции, а на протяжении времени и с прогрессом. Например, во многих отношениях европейское Возрождение возникло из ничего — из числа ноль!
Этот иероглиф майя первого века до нашей эры — первое документальное подтверждение использования числа ноль. Однако цивилизация майя использовала непозиционную систему счисления: единица обозначалась точкой, число 5 — линией, число 14 — четырьмя точками и двумя линиями и так далее.
Первые числа, которые использовали люди, называются натуральными (1, 2, 3, 4, 5…). Согласно учению пифагорейцев, самой влиятельной теории в древнегреческой математике, имеющей основополагающее значение и для современной науки, с помощью натуральных чисел можно описать окружающий нас мир. Натуральные числа (а также ноль и целые отрицательные числа) и построенные с их помощью дроби математики называют рациональными числами. Этот термин становится более понятен, если мы заметим, что слово «рациональный» имеет тот же корень, что и слово «ration», которое, в свою очередь, связано со словом «ratio» («отношение»), а именно соотношение двух величин. Число называется рациональным, поскольку является результатом отношения, деления, а не потому, что оно «разумное» — в другом смысле слова «рациональный».
Пифагор и его последователи более 20 веков назад знали, что корень из двух (√2) не является рациональным числом. Это число нельзя выразить в виде отношения двух натуральных чисел — как результат деления одного числа на другое. Пифагорейцы думали, что числа являются священными сущностями. Они верили, что все в мире может быть измерено, что все имеет численную природу. Поэтому идея невыразимого числа противоречила самой основе их философии.