Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр - страница 6
Фронтиспис книги Джероламо Кардано «Великое искусство»(Ars magna).
Хотя Тарталья не занимался анализом азартных игр целенаправленно в том смысле, как это делал Кардано, в своей книге Quesiti et inventioni diverse («Проблемы и различные изобретения», 1546) он предлагает читателю задачи и загадки, многие из которых популярны и в наши дни, например:
У некоего человека 17 лошадей. Он оставляет их в наследство сыновьям, завещав разделить коней между ними в пропорции 1/2, 1/3 и 1/9. Как сыновьям поделить наследство?
У некоего человека три фазана. Он хочет разделить их между двумя отцами и двумя сыновьями так, чтобы каждому из них достался фазан. Как это сделать?
Несомненно, одним из первых математиков, пытавшихся формально проанализировать азартные игры, был именно Кардано — возможно, наиболее одаренный и разносторонний математик того времени. Однако его работа об играх увидела свет лишь спустя столетие после его смерти, поэтому не привлекла заслуженного внимания. По-видимому, Кардано первым сформулировал задачу о разделении ставок, приведя также ее ошибочное решение, в котором уделено внимание подсчету очков каждого игрока, а не вероятностям выигрыша. Эту задачу также обсуждали в переписке Паскаль и Ферма. Мы поговорим о ней в главе 3.
Помимо итальянских алгебраистов, упоминания заслуживает французский математик Николя Шюке, в своей книге «Наука о числах в трех частях» (1484) представивший занимательные задачи, среди которых впервые упоминаются задачи на переливание. Приведем одну из них.
Даны два сосуда. Один вмещает 3 пинты, второй — 5. Как отмерить ровно 4 пинты с помощью переливаний? Ни на одном из сосудов нет никаких отметок, и все, что мы можем определить, — это заполнен сосуд полностью или нет.
Наконец, нужно упомянуть о Роберте Рекорде (1510—1558), математике из Уэльса, который, подобно Кардано, прожил очень интересную жизнь. Как и многие ученые мужи Возрождения, он занимался разными науками, в частности астрономией и медициной. Рекорд известен тем, что в своем труде The Whetstone of Witte («Точильный камень остроумия», 1557) впервые использовал знак «=» для обозначения равенства, указав, что нет ничего более равного между собой, чем две параллельные прямые. Хотя представить современную алгебру без этого знака непросто, он далеко не сразу стал использоваться повсеместно. Даже в XVIII веке наряду с ныне привычным обозначением встречались и другие, например ае (начальные буквы слова aequo — «равно»). В этой книге описываются занимательные задачи, которые по большей части решаются алгебраическими методами.
Игры и математика с XVII века до наших дней
Серьезная и занимательная математика существовали бок о бок с древнейших времен. Однако в начале XVII века появляется особое ответвление, посвященное анализу игр. Как уже говорилось в начале предыдущего раздела, в 1612 году была опубликована первая книга, посвященная исключительно занимательной математике, — Problemes plaisants et delectables qui se font par les nombres Клода Гаспара Баше де Мезириака (1581—1638). Этот математик, поэт и переводчик, который был одним из первых членов Французской академии наук, известен не только как автор этой книги, но и как автор комментария к переводу «Арифметики» Диофанта с греческого на латинский язык (1621). На полях одного из экземпляров именно этой книги Ферма записал свою знаменитую теорему (подробнее о нем мы поговорим в главе 3).
Обложка книги«Арифметика»Диофанта на латинском языке с комментариями Баше де Мезириака.
Золотой век математических игр: XVII и XVIII века
Книга де Мезириака — своеобразный конспект по занимательной математике той эпохи. В ней описана задача о волке, козе и капусте, магические квадраты, задачи о целых числах и взвешиваниях, например: «Найти минимальное число гирь и их массу, с помощью которых на простых весах с двумя чашками можно измерить любой вес, выраженный целым числом от 1 до 40».
Начиная с этого момента, уже в XVII веке появляется множество книг похожего стиля. В 1624 году Анри ван Эттен (это псевдоним французского иезуита Жана Лёрешона) опубликовал книгу Recreations mathematiques («Развлекательная математика»), которая стала более успешной, чем книга Баше, и послужила образцом для последующих изданий, среди которых работа Клода Мидоржа, изданная во Франции в 1630 году и переведенная на английский уже в 1633 году, или работа Даниэля Швентера, опубликованная в 1636 году в Германии. Но самой известной в XVIII и XIX веках стала книга Жака Озанама Recreations mathematiques et physiques («Математические и физические развлечения»), которую в 1725 году отредактировал и дополнил математик и историк науки Жан Этьен Монтукля.