Эйлер. Математический анализ - страница 30
В 1748 году он опубликовал Introductio in analysin infinitorum ("Введение в анализ бесконечных"), шедевр в двух томах, который вместе с Instituciones calculi differentialis ("Дифференциальное исчисление") 1755 года и с трехтомным Instituciones calculi integralis ("Интегральное исчисление") 1768-1770 годов входит в непревзойденную по сей день научную трилогию. Появление этих работ разделило математику на до и после, особенно в области анализа. Франсуа Араго (1786-1853) назвал Эйлера "анализом, воплощенном в человеке", а историк математики Карл Бенджамин Бойер (1906-1976) ставил его работы в один ряд с трудами Евклида, Ньютона, Гаусса и Декарта и даже впереди их всех, поскольку они имеют большее педагогическое значение. Вот что пишет Бойер:
"Можно сказать, что Эйлер сделал с исчислением Ньютона и Лейбница то, что Евклид сделал с геометрией Евдокса или Ви- ет — с алгеброй Кардано и Аль-Хорезми. Эйлер взял дифференциальное исчисление Лейбница и метод Ньютона и поместил их в более общую область математики, которая с этого момента стала называться анализом, то есть изучением функций и бесконечных процессов".
Это изменение касалось не только содержания, но и математической символики. В качестве упражнения может быть полезно почитать эти книги и убедиться, что они понятны и сегодня. Клиффорд Трусделл (1919-2000), выдающийся американский физик, писал по этому поводу:
"Эйлер был первым ученым в западной цивилизации, кто стал писать о математике ясным и легким для чтения языком. Он объяснил своим современникам, что вычислению бесконечно малых величин может научиться, приложив небольшие старания, любой разумный человек. Он справедливо славился чистотой своего стиля и честностью, с которой обращался к читателю, когда испытывал трудности".
Некоторые разработки Эйлера в области анализа интересны только узким специалистам, и мы ограничимся их перечислением: это гипергеометрические ряды, гиперболические функции, дифференциальные уравнения, эллиптические функции и комплексные интегралы.
База, на которой основано одно из самых важных открытий, описанных в Introductio in analysin infinitorum,— это формула Муавра. Современный математик записал бы ее так:
(cosx + isinx)>n = cosnx + isinnx.
Сам де Муавр записал ее в 1730 году в более сложном виде, но в соответствии с традицией того времени:
Абрахам де Муавр родился в 1667 году во французском регионе Шампань, однако карьеру сделал в Великобритании, куда бежал от религиозных преследований протестантов, начавшихся после того, как в 1685 году Людовик XIV отменил Нантский эдикт. В Лондоне он оказался в стесненных обстоятельствах и зарабатывал на жизнь частными уроками и игрой в шахматы. Де Муавр близко подружился с Эдмундом Галлеем (1656-1742) и Ньютоном, с которым он каждый день пил кофе и который, как говорят, каждый раз, когда ему задавали вопрос о вычислениях, отвечал: "Спросите де Муавра, он разбирается в этом лучше". Кроме этого, де Муавр дружил с Лейбницем, Эйлером и семьей Бернулли, однако все эти связи не помогли ему найти постоянную работу. Он был превосходным математиком: именно ему принадлежит введение в теорию вероятностей независимых событий — результат, приближающий к понятию распределения статистических данных в виде колокола Гаусса. Также де Муавр изучал вопрос ренты в работе Annuities in life ("Пожизненная рента"), опубликованной в 1724 году и основанной на одном из сочинений Галлея. В области анализа де Муавру принадлежит заслуга асимптотического представления факториала. Впоследствии эта формула станет известна как формула Стирлинга:
n! = √(2πn)(n/e)>n.
Но главным его достижением стала формула для комплексных чисел, которая в современной записи выглядит так:
(cosx + /sinx)>n = cosnx + isinnx.
Де Муавр остался холостяком и жил в бедности, но с гордостью изгнанника вспоминал, что в 1754 году Парижская академия наук избрала его своим иностранным членом. Умер ученый в Лондоне, и говорят, что он предсказал день своей смерти. Якобы де Муавр заметил, что каждый день спит на 15 минут больше, и, произведя подсчеты, вычислил день, когда должен был проспать 24 часа: 27 ноября 1754 года. Так и оказалось.