История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных - страница 11

После обучения у египтян и халдеев Пифагор обосновался в Кротоне (на юге Италии) и основал там свою школу. Она больше походила на тайное общество или культ — знания передавались только избранной группе посвященных. Пифагорейцы жили коммуной, имевшей строгий кодекс поведения. В него входили вера в метемпсихоз, или переселение душ, и строгое вегетарианство. Поскольку Пифагор не оставил никаких письменных трудов, мы можем только предполагать, какие результаты следует приписывать самому ученому. Существуют нередкие ссылки на пифагорейцев — это позволяет предположить, что члены школы позже ослабили запрет своего учителя на обнародование знаний. Одним из ключевых моментов обучения в пифагорейской школе было утверждение, что числа — это всё сущее, ничто нельзя придумать или узнать без помощи чисел. Наиболее уважаемым числом у пифагорейцев было десять, или «тетрактис», поскольку это сумма 1 + 2 + 3 + 4. Это — число точек, необходимое для формулировки измерений вселенной: 1 — это точка безразмерности и творец других измерений; две точки можно соединить, чтобы создать линию, имеющую одно измерение. Три точки можно соединить, чтобы создать двухмерный треугольник. Четыре точки можно соединить, чтобы создать трехмерный четырехгранник. Тетрактис стал символом пифагорейцев, которые пошли дальше всех своих предшественников в области мистики и нумерологии — они выстроили вселенную, и в ней числа имели особое значение для философского откровения. Пифагорейцам также приписывают числовой анализ музыки, в нем тетрактис символизировал важнейшие связи между нотами, например соотношение 1:2 для октавы. Из нумерологического описания музыки возникла общая концепция гармонии сфер, которая оказала влияние на планетарную модель Кеплера, созданную больше двух тысяч лет спустя.

Но теперь Пифагор более всего известен благодаря теореме, которая сейчас носит его имя. Как мы уже видели, в древности эта теорема была известна практически повсеместно. Считается, что Пифагор узнал о ней у представителей цивилизации, которую мы в этой связи не упоминали, — у египтян. Греческая литература постоянно ссылается на Египет как на источник знаний в области геометрии, но, к сожалению, у нас пока нет египетских документов, иллюстрирующих теорему Пифагора. Аристотель приписывает пифагорейцам первое доказательство того факта, что √2— иррациональное число. Если взять прямоугольный треугольник с основанием и высотой 1, его гипотенуза будет равна √2. На языке греческой математики пифагорейцы стремились выразить отношение гипотенузы к единице длины, то есть √2:1, как мы сейчас написали бы, то есть отношение целых чисел. В отличие от, например, пифагоровского треугольника со сторонами 3, 4, 5, где любая пара сторон составляет соотношение целых чисел, в треугольнике с катетами по единице этого достигнуть оказалось невозможно. Имеется в виду, что гипотенуза и любой катет несоизмеримы, то есть при наличии линейки с любыми одинаковыми делениями эти две стороны треугольника не могут быть измерены точно — если в гипотенузе откладывается целое число делений, то невозможно отложить целое число делений в катете, и наоборот. Историк Диоген Лаэртский рассказывает, что это открытие было сделано Гиппасом из Метапонта (574–522 до н. э.), последователем Пифагора, и что другие члены пифагорейской школы вывезли его в море и выбросили за борт, поскольку он разрушил их веру в то, что все может быть выражено целыми числами и их отношениями.

Эту историю теперь считают сомнительной, но отношения между соизмеримыми и несоизмеримыми длинами, и соответственно между рациональными и иррациональными числами, были важным вопросом математики. Действительно, определение иррациональных чисел в терминах рациональных чисел не было достигнуто в течение более двух тысяч лет (см. Главу 19).

Самым поразительным в греческом доказательстве теоремы Пифагора был метод, который описан в конце Первой книги «Начал» Евклида. В этом самом общем геометрическом доказательстве используется последовательность построений, преобразующих два меньших квадрата в два прямоугольника, которые стыкуются, образуя больший квадрат. Оно представлено без каких-либо ссылок на числовые значения, а характерную диаграмму «мельница», сопровождающую доказательство, позднее можно было найти в трудах по математике многих евразийских культур. Прокл оставил свой комментарий: «Хотя я восхищаюсь теми, кто первым понял истинность этой теоремы, я еще больше восхищаюсь автором „Начал“». Тем не менее этой теореме было дано имя Пифагора, ведь привлекательность пифагорейского идеала математической вселенной непреходяща.