История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных - страница 10

Обычно истоки ведического периода индийской цивилизации относят к началу первого тысячелетия до нашей эры. В то время закладывались основы индийской культуры и религии — создавались священные тексты (такие, как «Веды» и «Упанишады»), а также правила социального поведения, например «Законы Ману». Математические знания того периода записаны в книгах «Шульба-сутры» — дополнений к «Ведам». Неудивительно, что эти памятники в основном посвящены математике, которая должна была обеспечить точность исполнения ритуалов. Термин «шульба» означает «шнур» или «веревка» — ею обычно измерялись алтари. До нас дошли три версии этих текстов, самая ранняя предположительно была написана между 800 и 600 годом до нашей эры. Упрощенная теорема Пифагора звучит там следующим образом: веревка, натянутая по диагонали квадрата, порождает квадрат, вдвое превышающий по размеру исходный квадрат. Более поздняя и более общая теорема формулируется в книге «Катьяяна»: «веревка, натянутая по диагонали прямоугольника, формирует площадь, которую совместно образуют вертикальная и горизонтальная его стороны». Никакого доказательства не приводится, но описано множество практических применений этого принципа. Существовали правила, согласно которым строились алтари. Они были совершенно однотипными и строились по одному проекту, вследствие чего геометрические методы были предпочтительнее, чем числовые. Например, если вам необходимо удвоить площадь квадрата, проще всего построить квадрат, стороны которого были бы диагональю исходного квадрата, а не тратить время на вычисление, по которому сторону нового квадрата придется увеличить на √2. У индийцев были превосходные методы вычисления √2, но по религиозным мотивам требовалась абсолютная точность — приблизительного значения было недостаточно.

Самый ранний китайский математический текст — «Чжоу би суань цзин» («Канон расчета чжоуского/всеохватного гномона»), написанный предположительно между 500 и 200 годом до нашей эры. Он основан на тексте времен династии Шан, созданном, возможно, за 500 лет до этого. Как предполагает название текста, в основном в нем рассматриваются вопросы астрономии, однако есть там и некоторые предварительные указания по арифметике и геометрии. Предположительно этот труд был написан одним из многочисленных странствующих философов в период, известный как Период Сражающихся царств, в смутную эпоху вражды между династиями Чжао и Хань. Самым известным из таких философов был Конфуций — его философию единства и стабильности можно считать реакцией на те бурные времена.

Первая часть «Канона расчета чжоуского гномона» — диалог между правителем Чжоу-гуном и сановником по имени Шан Гао, в котором обсуждаются свойства прямоугольных треугольников. Там формулируется теорема Пифагора, известная как «гоугу», и дополняется геометрической иллюстрацией. Описан процесс, названный «накоплением прямоугольников», а на рисунке показано применение этого метода для треугольника со сторонами 3, 4 и 5 — самого маленького пифагорова треугольника. Распространение метода на другие длины сторон, как предполагалось, очевидно для читателя, но более общая формулировка была выполнена комментаторами, жившими в III веке нашей эры. Один из авторов, Лю Хуэй, приводит второе геометрическое доказательство теоремы, используя принцип «взаимоотклика внутреннего и внешнего»: два меньших квадрата разрезаются таким образом, чтобы выстроить больший квадрат. В числовых задачах использовалось правило roy^>2 + ry^>2 = сянь^>2 (наше а^>2 + b^>2 = с^>2). Эта теорема была очень важна для китайской математики, поскольку легла в основу других методов, вроде извлечения квадратных корней и решения квадратных уравнений. Одна классическая задача, известная под названием «сломанный бамбук», позднее появилась в европейских книгах — возможно, из китайской математики она просочилась на Запад через Индию и арабский мир.

Наконец мы подходим к легенде, имя которой Пифагор (ок. 570 — ок. 490 до н. э.). Возможно, этот древний грек был почти современником Будды, Конфуция, Махавиры, Лао Цзы и Заратустры. Его склонность сочетать математику и мистику получила продолжение — она проявляется в течении, которое в III веке нашей эры назвали неоплатонизмом. О личности Пифагора доподлинно ничего не известно. Упоминания о нем часто тенденциозны, даже Аристотель, всего двести лет спустя, не смог нарисовать нам портрет реального человека. Значимость Пифагора и его последователей видна в их философии математики. Вера в примат математики как единственного истинного источника знаний пришла к нам через таких философов, как Платон (428/427–347 до н. э.), Плотин (204/205–270), Ямвлих (245/280–325/330) и Прокл Диадох (412–485). Эта вера — краеугольный камень неоплатонизма, легшего в основу западного мышления.