История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных - страница 19
Классический период индийской математики начался в середине первого тысячелетия. Большей частью Индии правила династия Гуптов, которые поощряли исследования в области наук и искусств. Математическая деятельность была сконцентрирована в трех центрах: в столице Паталипутре (современная Патна), в Удджайне на севере и в Майсуре на юге. Два самых крупных математика этого периода — это Ариабхата (476–550), автор «Ариабхатии» (499), и Брахмагупта (ок. 598–660), который в 628 году сочинил трактат под названием «Брахма-спхута-сидцханта» («Открытие Вселенной»). Основными задачами, которыми занимались эти ученые, были математическая астрономия и анализ уравнений.
«Ариабхатия» состоит из 123 стихов. Трактат начинается с восхваления богам, а затем в нем описываются алгоритмы для вычисления квадратов, кубов, квадратных и кубических корней. В работе приведены 33 правила по арифметике, алгебре и тригонометрии на плоскости. Семнадцать правил посвящены геометрии, 11 — арифметике и алгебре. В десятом правиле приводится значение π как отношение 62,832:20,000, что эквивалентно 3,1416, — это самое точное значение, вычисленное в то время, и оно останется таковым еще тысячу лет. Трактат включает также таблицу синусов. В отличие от Птолемея, использовавшего в качестве основной меры хорды, индусы использовали полухорды и выражали их в радиусах. Поэтому, за исключением постоянного множителя, индийские синусы намного ближе к нашим современным. Разделив четверть окружности на 24 равные части и начав с нескольких базовых результатов и формул, вроде sin 30° = 1/2, Арьябхата составил таблицу синусов для углов от 3°45′ и выше. Ему также приписывают создание формулы, позволяющей приблизительно оценить синус любого угла без использования таблицы с точностью до нескольких десятичных знаков.
Позже Брахмагупта создал формулу интерполяции, используя арифметический метод разностей, чтобы найти синусы промежуточных углов. В дальнейшем тригонометрию развивали арабы на севере и математики Кералы на юге. Арабы, а затем и западный мир познакомились с индийской математикой и астрономией отчасти благодаря переводу «Брахма-спхута-сиддханты».
Брахмагупта основал ставшую широко известной школу в Удджайне. Его «Брахма-спхута-сиддханта» — самый полный трактат по астрономии того времени. В некоторых разделах этого труда производится анализ неопределенностей, взятых из календарных вычислений и астрономии. Арьябхата решал линейные неопределенные уравнения, используя алгоритм Евклида, описанный в «Началах», — сокращение коэффициентов до тех пор, пока уравнения не будет удобно решать методом проб и ошибок. Брахмагупта приводит алгоритм для решения в целых числах уравнений вида ах>2 ± с = у>2, которые геометрически представляют собой гиперболы. В Европе эта формула получила известность под названием «уравнение Пелля»[6].
Позднее знаменитый индийский математик Бхаскара (Бхаскарачарья) (1114 — ок. 1185) улучшил эти методы, создав «циклический» метод, известный как «чакравала» (метод нахождения наименьшего нетривиального решения). Он привел решение известной задачи — уравнения 61х>2 + 1 =у>2. Это та самая задача, над которой Пьер Ферма бился в семнадцатом столетии и решение которой было найдено Жозефом Луи Лагранжем лишь сто лет спустя. Но даже и в восемнадцатом веке алгоритм «чакравала» был намного более эффективен. Наименьшие решения: х = 226 153 980, у = 1 766 319 049.
Ни в «Ариабхатии», ни в «Брахма-спхута-сиддханте» не доказываются представленные там результаты. Но это не означает, что их авторы не знали доказательств или не понимали, насколько важно продемонстрировать обоснованность приведенных правил. То, что индийские математики осознавали необходимость доказательств, видно хотя бы из того, что Бхаскара отклонил джайнистское приближенное значение π, представленное как √10: хотя и численно близкое, оно не сопровождалось никакими внятными объяснениями. В любом случае индийские математики не ограничивались только лишь представлением методов расчета и результатов, эти результаты проверялись и перепроверялись много раз, что, в свою очередь, способствовало возникновению еще более строгих методик.