История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных - страница 20

Бхаскара из Удджайны был выдающимся математиком. Ему приписывается открытие некоторых понятий из области вычислений, которые стали широко известны намного позже. Трактаты Бхаскары издавались даже в девятнадцатом столетии. Одним из аспектов индийской астрономии было исследование мгновенных движений планет, особенно Луны. Были сделаны удивительно верные расчеты времени затмений, поэтому будущие затмения могли быть предсказаны с невероятной точностью. И Ариабхата, и Брахмагупта использовали для этого одну и ту же формулу, а Бхаскара усовершенствовал метод расчета, выведя то, что можно считать дифференциалом синуса. В его трактате «Сиддханта-широмани» («Венец учения») используется «бесконечно малая» единица измерения — «трути», равная 1/33,750 секунды. По сути, в определенном смысле трактат Бхаскары можно рассматривать как предварение математического анализа, но, похоже, этот «пред-анализ» не рассматривался как самостоятельная тема и не распространялся на другие ветви математики.

Впоследствии Ньютон в своем математическом анализе будет активно использовать бесконечные ряды. Особенно полезным достижением индийской математики была аппроксимация синусов и косинусов полиномами с бесконечным числом членов — работы именно в этом направлении мы можем увидеть у математиков Кералы. После Бхаскары успехи индийской математики были невелики — страну охватил политический хаос. Но юго-западная Индия оставалась в значительной степени защищенной от этих потрясений, так что там математика могла развиваться вплоть до четырнадцатого — семнадцатого веков. Керала была центром морской торговли, туда стекались люди из самых разных стран. Конечно, необходимо более точно изучить историческую роль Кералы в продвижении математических идей, но некоторые результаты указывают на то, что математика там процветала.

Мадхава из Сангамаграма (ок. 1340–1425), известный более поздним астрономам как Голавид, или «Повелитель сфер», был одним из величайших средневековых математиков. Его работы по исследованию бесконечных рядов были утеряны, но постоянно цитировались более поздними авторами вплоть до шестнадцатого века. Многие результаты, которые были названы в честь европейских математиков, возможно, должны были носить имя Мадхавы. Сюда входят разложение синусов и косинусов в бесконечный многочлен, считающееся заслугой Ньютона, а также формулы малоуглового приближения, представляющие собой часть рядов Тейлора. Эти формулы позволяли составлять тригонометрические таблицы с любой желательной точностью; таблицы Мадхавы были составлены с точностью до восьми десятичных знаков. Мы также находим у него бесконечный ряд, выражающий значение числа π. Один пример, приведенный в стихотворной форме, иллюстрирует, как определенные объекты традиционно использовались для того, чтобы обозначить числа и способствовать их последующему вспоминанию:

Боги [33], глаза [2], слоны [8], змеи [8], огни [3], тройка [3], качества [3], веды [4], наксатры [27], слоны [8] и руки [2] — мудрые говорят, что это длина окружности, когда диаметр круга — 900 000 000 000.

Прочтение чисел справа налево и деление получившегося числа на указанный диаметр приводят к значению π с точностью до одиннадцати десятичных знаков. Такое вычисление с использованием бесконечного ряда сразу напоминает о гениальном индийском математике-самоучке из Кералы — Сринивазе Рамануджане (1887–1920), невероятные способности которого позволили ему поступить в Кембриджский университет.

В седьмом веке нашей эры на Аравийском полуострове возникла новая монотеистическая религия, которая должна была втиснуться между христианским и персидским мирами. В 622 году пророк Мухаммад бежал из Мекки и нашел прибежище в Медине. Восемь лет спустя он возвратился во главе армии и триумфально вошел в Мекку. Вдохновленные прозрениями Мухаммада, его последователи распространили слово Корана и создали Арабский халифат, который в пору своего расцвета раскинулся от Кордовы до Самарканда. С 661 года империей, со столицей в Дамаске, правила династия Омейядов, но в 750 году они были свергнуты Аббасидами, которые перенесли столицу в Багдад (с 762 года). Омейяды бежали в испанские земли, где создали Кордовский халифат.