Математический аппарат инженера - страница 18
= 1
- 37 -
Аналогично в матричной алгебре две квадратные матрицы, произведение которых равно единичной матрице, т.е. AA>-1 = A>-1A = 1, называют взаимно обратными ( A>-1 обратна A). Однако дальше этого аналогия не проходит.
Выражение a>-1b, где a и b — числа, можно представить как частное от деления b на a, но для матриц такое представление не имеет смысла и в общем случае A>-1B ≠ BA>-1. Поэтому вместо операции деления В на А различают левое частное A>-1B и правое частное BA>-1, которые сводятся к умножению слева или справа на обратную матрицу A>-1.
Способ обращения матрицы проще всего установить, рассматривая решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:
В матричной форме эта система уравнений запишется как Ax = q, где А — квадратная матрица n-го порядка, называемая матрицей системы: x и q — столбцевые матрицы неизвестных переменных и свободных членов:
Матричное уравнение Ax = q решается умножением обеих его частей слева на обратную матрицу A>-1 т.е. A>-1Ax = A>-1q в результате получаем x = A>-1q.
В соответствии с правилом Крамера неизвестные x>k(k = 1, 2, ..., n) определяются соотношением:
где Δ — определитель системы уравнений Δ>sk — алгебраические дополнения.
- 38 -
Определитель Δ представляет собой числовую функцию, которая вычисляется по определенным правилам на основании квадратной таблицы, состоящей из коэффициентов системы уравнений
Табличное представление определителя Δ по форме совпадает с матрицей системы уравнений, т.е. состоит из тех же элементов и в том же порядке, что и матрица А. В таких случаях его называют определителем матрицы А и записывают Δ = detA.
Алгебраическое дополнение Δ>sk вычисляется как определитель матрицы, полученной удалением из матицы A s-й строки и k-го столбца, причем этот определитель умножается еще на (-1)>s+k. Величину Δ>sk называют также алгебраическим дополнением элемента a>sk матрицы A. Часто определитель матрицы А обозначается через |A|, а алгебраическое дополнение — через A>sk.
Записав для всех элементов столбцевой матрицы x выражения по правилам Крамера, получим решение системы уравнений в виде:
- 39 -
откуда, сравнивая с A>-1q, имеем
Из полученного выражения следует правило определения обратной матрицы: 1) элементы a>ij данной матрицы A n-го порядка заменяются их алгебраическими дополнениями Δ>ij: 2) матрица алгебраических дополнений транспонируется, в результате чего получаем присоединенную или взаимную матрицу к А ( она обозначается через AdjA); 3) вычисляется определитель Δ матрицы А и присоединенная матрица AdjA умножается на величину, обратную этому определителю.
Обратная матрица существует для матрицы А при условии, что detA ≠ 0. Такие матрицы называются неособенными, в отличие от особенных (вырожденных), определитель которых равен нулю. Ниже вычисление обратной матрицы иллюстрируется примером:
- 40 -
Матрица, обратная произведению двух матриц, равна переставленному произведению матриц, обратных исходным, т.е. (AB)>-1 = B>-1A>-1. Действительно, умножив обе части этого равенства на АВ, приходим тождеству E = B>-1A>-1(AB), так как B>-1(A>-1A)B = B>-1EB = B>-1B =E, где E — единичная матрица n-го порядка.
10. Блочные матрицы. Часто матрицу удобно разбить вертикальными и горизонтальными линиями на блоки которые являются матрицами меньших размеров и при выполнении операций рассматриваются как элементы исходных матриц. Операции над блочными матрицами выполняются по сформулированным выше правилам при условии, что эти операции допускаются размерами соответствующих матриц.
Пусть, например, матрицы А и В разбиты на блоки (жирными линиями) так, чтобы для соответствующих блоков имела смысл операция умножения, т.е.
По правилу умножения прямоугольных матриц можно записать:
Вычислим блоки C>11 и C>21 матрицы C:
- 41 -
В результате имеем
Конечно, тот же результат получается и при непосредственном перемножении матриц. Но разбиение на блоки позволяет оперировать с матрицами меньших размеров ( это бывает необходимо, например, когда не хватает места на бумаге или ячеек оперативной памяти машины) и особенно удобно, если можно выделить нулевые блоки.