Параллельный перенос вектора. Критика - страница 5

Рис.1.6. Введение тензора кривизны посредством параллельного переноса вектора (тензора) по замкнутому контуру" [4, с.67].

Обратим внимание на то, что рисунок можно рассматривать двояко: как 2-мерное пространство и как пространство 3-мерное. Для наглядности мы внесли небольшие коррективы в оригинальный рисунок: добавили голубоватый фон плоскости перемещения векторов, а для демонстрации трёхмерности пространства продлили вектора под плоскость пространства.

Теперь с целью получения результатов в самом общем виде, рассмотрим оба этих варианта. Поскольку изображение на рисунке направления вектора изменённым мы считаем произволом, так сказать, рисованием "на глазок", рассмотрим другой, аналогичный вариант рисунка, на который нанесём параллели или меридианы, кому какое название больше понравится. Наличие этих линий лишит нас возможности для произвольного выбора направлений векторов. Такой рисунок-аналогию можно представить в следующем вид:

Рис.4. Кривое пространство с точки зрения "плосковитян"

Это 2-мерное пространство, каким его воспринимают так называемые "плосковитяне", то есть, некие условные обитатели этого плоского искривлённого пространства. То, что это пространство искривлённое, видно из нашего трёхмерного пространства. Но его обитатели ничего, разумеется, увидеть не могут. Однако, если они попробуют определить сумму углов треугольника, например, треугольника DEF, то обнаружат, что их сумма меньше 180 градусов. Более того, для некоторых областей они получат вообще немыслимый результат: сумма углов треугольника GHK, наоборот, приближается к 360 градусам. Вместе с тем, в этом кривом пространстве есть и область, в которых треугольник, например, ABC имеет нормальную сумму углов – 180 градусов. Заметим, что подобную картину будут наблюдать и обитатели поверхности сферы: сумма внутренних углов некоторых треугольников у них также может достигать практически 360 градусов.

При измерении внутренних углах квадрата abcd плосковитяне получат весьма странные результаты: все углы квадрата -разные. Причём это определённо квадрат или, по меньшей мере, ромб, поскольку все его стороны равны.

Поскольку мы рассматриваем картину с точки зрения 2-мерного пространства, то и векторы в нём могут лежать только в "плоскости" этого пространства, у них по определению не может быть третьей пространственной компоненты, координаты. Кроме того, мы выбираем исходное направление вектора параллельное одной из групп меридиан (параллелей), которых, наборов, очевидно, может быть любое количество.

Рис.5. Перенос вектора в искривлённом 2-мерном пространстве из точки A в точку B по двум разным траекториям

На рисунке мы обязаны всегда вектор "накладывать" на ближайшую к нему параллель, поэтому приводим только те положения вектора, где он точно совпадает с параллелью. Промежуточные положения вектора также совпадают с промежуточными параллелями. Как видно на рис.5, никаким образом мы не сможем изменить направление вектора в его конечной точке. Меняется лишь его длина по мере продвижения в соответствии с кривизной пространства, но для обитателей этого 2-мерного пространства длина вектора неизменна и в каждой точке равна 10 единицам. На рисунке красной траектории перемещения вектора соответствуют его синие положения. Зелёной траектории – чёрные вектора. В точке А исходный вектор показан утолщённым, а в точке B – оба пришедших туда вектора немного смещены друг относительно друга, чтобы показать их оба.

Теперь рассмотрим перемещение такого же вектора искривлённом 3-мерном пространстве. Характер искривления не принципиален, поэтому возьмём его в форме гравитационной воронки нейтронной звезды.

Рис.6. Перенос вектора в искривлённом 3-мерном пространстве из точки A в точку B по двум разным траекториям

Как и в предыдущем случае искривлённого 2-мерного пространства мы никакими ухищрениями не сможем в конечной точке перемещения векторам придать различающиеся направления. В этой конечной точке они могут иметь только одно-единственное допустимое условиями задачи направление – это направление параллели в этой точке. Поскольку вектор изначально имел направление, совпадающее с направлением параллели в представленной группе, то и в конченой точке он может иметь только точно такое же направление.