Примени математику - страница 12
= (10n + n>0)+ (10m - 1)n>0, т. е. когда на 10m - 1 делится первое выражение 10n + n>0 в полученном представлении. Полагая в доказанном утверждении m = 2, получаем, что число 10n + n>0 делится на 19 только одновременно с числом n + 2n>0. Таким образом, мы имеем следующий признак делимости на 19. В данном числе 10n + n>0 отбросим последнюю цифру n>0 и, удвоив ее, прибавим к числу я, составленному из остальных цифр исходного числа. Проделав эту процедуру несколько раз, придем к не более чем двузначному числу, которое будет делиться на 19 в том и только в том случае, если на 19 делилось исходное число. Например, для числа 3 086 379 получаем последовательность чисел 308 655, 30 875, 3097, 323, 38, последнее из которых, а значит, и исходное кратно 19.
2.26. Так как число 10m + 1 взаимно просто с числом 10, то число n - n>0m делится на 10m + 1 только одновременно с числом
10 (n - n>0m) = 10n - 10mn>0 = (10n + n>0) - (10m + 1)n>0, т. е. одновременно с числом 10n + n>0. Полагая в доказанном утверждении m = 3, получаем следующий признак делимости на 31. В данном числе 10n + n>0 отбросим последнюю цифру n>0 и, утроив ее, вычтем из числа n, составленного из остальных цифр исходного числа. Повторяя эту процедуру, мы придем к не более чем двузначному числу (возможно, отрицательному), которое будет делиться на 31 только одновременно с исходным числом. Например, для числа 2 886 379 имеем последовательность чисел 288 610, 28 861, 2883, 279, 0, последнее из которых, а значит, и исходное кратно 31.
2.27. Число 10m + 3 не имеет общих делителей с числом 10, так как оно не делится ни на 2, ни на 5. Поэтому число n + n>0(3m + 1) делится на 10m + 3 только одновременно с числом
10(n + n>0(3m + 1)) = (10n + n>0) + (30m + 9)n>0 = (10n + n>0) + 3(10m + 3)n>0, т. е. одновременно с числом 10n + n>0. Полагая m = 1, получаем признак делимости на 13, согласно которому, отбросив в данном числе последнюю цифру n>0 и прибавив учетверенную (3m + 1 = 4) эту цифру к числу n, составленному из остальных цифр исходного числа, получим число, которое будет делиться на 13 только одновременно с исходным числом. Учитывая признак делимости на 13, описанный в задаче 2.24, мы рассмотрим указанную схему лишь в применении к трехзначным числам. Например, для числа 481 последовательно получаем числа 52, 13, последнее из которых, а значит, и исходное кратно 13.
2.28. Так как число 10m - 3 взаимно просто с числом 10, то число n - n>0(3m - 1) делится на 10m - 3 только одновременно с числом
10 (n - n>0(3m - 1)) = (10n + n>0) - (30m - 9)n>0 = (10n + n>0) - 3(10m - 3)n>0, т. е. одновременно с числом 10n + n>0. Полагая m = 2, получаем признак делимости на 17, согласно которому, отбросив в данном числе последнюю цифру n>0 и вычтя упятеренную (3m - 1 = 5) эту цифру из числа n, составленного из остальных цифр исходного числа, мы получим число, которое будет делиться на 17 только одновременно с исходным числом. Например, применяя эту процедуру несколько раз к числу 1067 481, последовательно получим числа 106 743, 10 659, 1020, 102,0, последнее из которых, а значит, и исходное, делится на 17.
§ 3. Легко ли извлекать корни?
Одной из наиболее трудоемких арифметических операций является извлечение корня квадратного, кубического или другой степени из данного числа. Относительно просто корень можно найти в том случае, когда заранее известно, что он представляет собой целое число, т. е. извлекается нацело. В некоторых случаях при извлечении корня приходится искать лишь приближенное его значение с наперед заданной точностью. Напомним, что приближенным значением величины а с точностью до числа σ>0 называется любое (вообще говоря, не единственное) число х, удовлетворяющее оценкам
а - δ≤x≤a + δ. Приближенное равенство π≈3,14, к примеру, означает, что число 3,14 есть приближенное значение числа n с точностью до половины единицы последнего разряда, т. е. до
В настоящем параграфе вы познакомитесь с некоторыми методами нахождения корней, позволяющими довольно скоро и без особых усилий получать вполне удовлетворительные приближения.
3.1. Сколько знаков до запятой?