Примени математику - страница 16
Например, методами задачи 3.6 вычисляются первая цифра 4 и последняя цифра 3 корня кубического из числа 99 252 847. Сосчитав остаток от деления исходного числа на 11, равный остатку от деления на 11 выражения
7 - 4 + 8 - 2 + 5 - 2 + 9 - 9 = 12 (см. признак делимости - задачу 2.20), т. е. равный числу 1, заключаем, что остаток от деления на 11 искомого корня равен 1. После этого из условия, что число 4*3, ас ним и число 3 - x + 4 = 7 - х, должно давать при делении на 11 остаток 1, мы однозначно определяем среднюю цифру х = 6 корня и в конечном счете сам корень 463. Остается лишь убедиться в том, что он действительно удовлетворяет равенству 463>3 = 99 252 847.
3.9. Предложенный алгоритм в разобранном случае базируется на представлении
273 529 = 5*5*10 000 + (2*5*10 + 2)*2*100 + (2*52*10 + 3)*3 = 500*500 + (2*500 + 20)*20 + (2*520 + 3)*3 = 500>2 + 2*500*20 + 20>2 + 2*520*3 + 32 = (500 + 20 + 3)>2, из которого вытекает равенство
где числа а>1, a>2, ..., a>n выбираются максимально возможными, кратными соответствующим степеням десяти: 10>n-1, 10>n-2, ..., 10>0, т. е. указывают цифры в соответствующих разрядах десятичной записи корня.
Нахождение корня
откуда следует, что искомый корень равен 2874.
3.10. Согласно утверждению задачи 3.3, можно без ограничения общности считать число, из которого требуется извлечь корень, целым и даже сколь угодно большим (если оно положительно), т. е. имеющим больше пар цифр, чем нужно получить знаков в десятичной записи корня. Этого можно достичь временным домножением числа на правильно подобранную четную степень числа 10 и последующим делением значения корня на вдвое меньшую степень числа 10. Если на последнем шагу получается ненулевой остаток, то можно оборвать алгоритм и считать получившийся при этом ответ приближенным значением корня с недостатком (на каждом шагу цифры ответа выбираются максимально возможными, поэтому любая десятичная дробь, превышающая полученную в ответе хотя бы по одному из ее найденных разрядов, будет больше искомого корня). Округлив полученную дробь до предпоследнего разряда, мы найдем нужное число точных знаков корня.
Для нахождения значения 
из которых получаем
3.11. Так как
то
получаем
что и требовалось доказать.
Для 
3.12. Из преобразований
при n = 0 получаем первую из требуемых оценок, а при n = 1, 2, ... имеем, что число δ>n положительно, следовательно,
Каждое из чисел
фактически получается с помощью приближенной формулы корня квадратною (см. задачу 3.11) из числа а по грубому приближению х>n-1 и остатку b. Поэтому предложенный способ представляет собой не что иное, как многократное применение этой формулы.
Для нахождения
Оценим погрешность приближения:
Так как
а значит, приближение
3.13. Пусть число х составлено из n первых цифр ответа, а число b равно указанной в условии разности (полученной на последнем шаге алгоритма задачи 3.9). Тогда без ограничения общности можно считать, что число х целое (см. задачу 3.3) и x≥10>n-1, а искомый корень равен х + 8 и δ<1. Погрешность приближения
согласно утверждениям задачи 3.12, не превосходит числа
Таким образом, приближенное значение превышает точное, но менее чем на половину единицы (n-1)-го разряда после запятой, т. е. оно, по существу, задает еще n-1 верных знаков корня
Применяя доказанный факт к полученным в решении задачи 3.10 значениям х = 223 606 и b = 356 764, находим частное
3.14. Возводя в куб обе части равенства
получаем
откуда имеем
Если х - наибольшее натуральное число, куб которого не превосходит искомого корня кубического, то справедливы неравенства
из которых получаем оценки
Наконец, для