Том 3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - страница 27

Гипотеза Гаусса стала теоремой лишь век спустя: в 1896 г. Жак Адамар (1865–1963) и Шарль Жан Ла Валле Пуссен (1866–1962) одновременно, но независимо друг от друга доказали ее. Из всех теорем в теории простых чисел гипотеза Гаусса занимает особое место с точки зрения истории математики: не только из-за своей красоты, но и из-за огромного влияния, которое она оказала на методы исследований простых чисел.

Портрет Гаусса изображен на лицевой стороне немецкой банкноты 10 марок на фоне кривой, известной как колоколообразная кривая Гаусса. На обороте банкноты изображен секстант — инструмент, который использовался при создании одной из первых геодезических сетей в мире недалеко от Гамбурга, как показано в нижнем правом углу. Понятие «геодезических», то есть кратчайших линий, соединяющих две точки на поверхности, является ключевым понятием в геометрии и еще одним научным вкладом немецкого гения.

В основе современной теории простых чисел лежат три краеугольных камня: модульная арифметика, комплексные числа и теория аналитических функций. Все они, а особенно последний, требуют существенных математических знаний. Однако некоторые аспекты теории чисел можно легко понять: например, визуализацию функций в четырехмерном пространстве. Это и поможет нам оценить роль дзета-функции Римана в наведении порядка в хаотической последовательности простых чисел.

Как известно, числа имеют особые символические значения, связанные с различными мистическими верованиями. В западном мире большинство таких символических значений имеет свои корни в Библии или в пифагорейской школе. «Все познаваемое имеет число. Ибо без него невозможно ничего ни понять, ни познать», — писал ученик Пифагора, греческий математик и философ Филолай из Кротона (ок. 480 г. дон. э.).

В эпоху мрачного средневековья передача «культуры чисел» свелась к минимуму. Католическая церковь провела четкое разграничение между различными философскими концепциями мира и теми неоспоримыми принципами, которые соответствовали ее учению. Лишь одной традиции удалось в некоторой степени преодолеть эту нетерпимость: картам Таро. Хотя церковь в конце концов осудила эту систему символов, нумерология Таро сохранилась во многих текстах, которые были настолько двусмысленными, что было неясно, идет там речь о гадании или об арифметике.

Имея в основе десятичную систему счисления, нумерология Таро придавала особое значение первым девяти числам. Число 1 символизировало единство и уникальность, число 2 было символом различия и воспроизводства; число 3 представляло направление, в котором развиваются свойства двойки при добавлении единицы: 2 + 1. Аналогично число 7 представляло собой результат развития потенциала числа шесть: 7 = 6 + 1 и так далее.

Таким образом, начиная с единицы, устанавливаются основные принципы для первых девяти чисел и возможность сведения любого другого числа к одному из них. Именно здесь и появляются «магические суммы». Идея состоит в том, чтобы сложить все цифры в данном числе и таким образом свести их к одной цифре. Например, возьмем число 47 и сложим его цифры, пока не получим одну: 4 + 7 = 11 = 1 + 1 = 2. Таким образом, число 47 наследует символизм числа 2, но находится на более высоком уровне. Другой пример:

157 = 1 + 5 + 7 = 13 = 1 + 3 = 4.

Операции сложения и умножения также можно выполнить с помощью сведения к одной цифре. Например, чтобы сложить числа 248 и 386, мы сначала сведем их к одной цифре

248 = 2 + 4 + 8 = 14 = 1 + 4 = 5;

396 = 3 + 9 + 6 = 18 = 1 + 8 = 9

и сложим полученные результаты:

9 + 5 = 14 = 1 + 4 = 5.

Если мы сначала выполним сложение, а потом сведение к одной цифре, мы по лучим тот же результат:

248 + 396 = 644 = 6 + 4 + 4 = 14 = 1 + 4 = 5.

* * *