Том 3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - страница 28

* * *

Тот же самый результат получается, когда операции выполняются в другом порядке. При умножении мы поступаем аналогично:

45 х 27 = 1215 = 1 + 2 + 1 + 5 = 9;

45 = 4 + 5 = 9;

27 = 2 + 7 = 9;

9 x 9 = 81 = 8 + 1 = 9.

Мы можем расположить первые сто натуральных чисел в таблице, в каждом столбце поместив эквивалентные числа в соответствии с указанной системой сведения к одной цифре.

Теперь мы можем сказать, что число 78 относится к группе 6, а число 93 — к группе 3. На языке современной математики эти группы называются «классами эквивалентности». Таким образом, можно говорить о «классе числа 3», «классе числа 5» и так далее.

Такой подход, уже известный математикам того времени, позволил Гауссу разработать новый вычислительный инструмент, который оказался очень полезным при определении некоторых свойств простых чисел.

* * *

Магический квадрат с гравюры «Меланхолия I» художника эпохи Возрождения, Альбрехта Дюрера.

* * *

Циферблат часов содержит 12 чисел, расположенных по кругу. После числа 12 должно идти число 13, но мы на самом деле возвращаемся к единице и начинаем новый отсчет. Эта система практически не отличается от правила магических сумм, только вместо первых девяти чисел здесь используются первые двенадцать. Мы могли бы составить таблицу, аналогичную предыдущей, только с двенадцатью столбцами вместо девяти. Напишем первые две строки такой таблицы:

Это именно то, что мы делаем каждый раз, когда смотрим на часы с цифровым циферблатом. Чтобы определить время после полудня, мы считаем до 12, а затем начинаем сначала с единицы. Например, когда мы видим на часах цифры 17:00, мы знаем, что это означает «5 часов дня», так как число 17 согласно нашей таблице находится в том же «классе», что и 5. Так у Гаусса появилась идея использовать различные часы или, точнее, разные циферблаты часов. Например, для часов, на циферблате которых нанесены лишь первые пять чисел, можно составить такую таблицу:

Согласно нашему предыдущему критерию, можно сказать, что число 17 находится в группе числа 2, или, точнее, 17 принадлежит классу числа 2.

Определить класс числа совсем нетрудно. Возьмем, например, число 18: сделаем три полных оборота, получим число 15, а затем начнем отсчет сначала и получим число 3, что означает, что число 18 относится к классу числа 3. Это то же самое, что разделить 18 на 5 и получить остаток 3. Такой способ очень полезен для больших чисел. Чтобы узнать, к какому классу принадлежит, например, число 40248, мы делим его на 5 и получаем частное 8049 и остаток 3. Значит, 40248 относится к классу числа 3. Так как числа, кратные пяти, дают в остатке ноль, мы используем 0 для обозначения класса числа 5 и перепишем нашу таблицу следующим образом:

Можно сказать, что в этом смысле число 17 такое же, что и число 2, но знак равенства 17 = 2 сбивал бы нас с толку, поэтому этот факт обычно записывается как 17 

Но в выражении такого рода чего-то не хватает. Нам нужно знать, какой тип «часов» мы использовали. В данном случае на циферблате часов было всего пять цифр. Это записывается как mod 5, и окончательное выражение выглядит следующим образом:

17 

Это выражение означает, что числа 17 и 2 эквивалентны по модулю 5. Как было принято в то время, Гаусс писал научные работы на латинском языке, поэтому он выбрал слово «по модулю» (modulo, творительный падеж слова modulus, означающего «абсолютное значение»). В результате родилась так называемая модульная арифметика, которая и сегодня является одним из самых мощных инструментов в теории чисел.

Модульная арифметика вместо равенств использует сравнения по модулю, поэтому вышеприведенное выражение читается так: «17 сравнимо с 2 по модулю 5». Чтобы выяснить, сравнимы ли два числа по модулю 5, нужно вычесть одно из другого и проверить, делится ли результат на 5. В нашем случае 17 — 2 = 15, а число 15 кратно 5.