Том 32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление - страница 12

В трехмерном пространстве траектории-решения могут переплетаться между собой.

Но как Пуанкаре справился с этими трудностями и нашел периодические решения в пространстве? Он применил метод, называемый сегодня сечениями Пуанкаре.

Так как изучать динамику на плоскости намного проще, чем в пространстве, ученый рассмотрел плоскость, заключенную в фазовом пространстве и полностью рассекающую трехмерный пучок траекторий. Нечто похожее мы делаем каждый день, когда проверяем, червивое ли яблоко: мы разрезаем его ножом и осматриваем поперечное сечение.

Допустим, что человек в течение всего дня носит с собой катушку ниток, разматывая ее. Нитка укажет траекторию этого человека. Теперь предположим, что мы неожиданно потеряли его след и не знаем, вернулся ли он домой. Как найти ответ? На помощь приходит топология, в частности теория Пуанкаре: плоскость, в которой располагается дверь дома нашего беглеца, станет сечением Пуанкаре.

Встанем у двери и сосчитаем, сколько нитей пересекает дверной порог. Если число нитей нечетно, наш незнакомец еще не вернулся, если же число нитей четно, он уже дома — это логично. Следовательно, если человек вернулся, то через дверной порог — наше сечение Пуанкаре — будет проходить четное число нитей. Выходит, изучение нитей (траекторий), пересекающих поверхность подобно тому, как нити пересекают порог (сечение Пуанкаре), дает важные результаты.

Сечение Пуанкаре S. Если бы х и Р(х) совпадали, траектория была бы замкнутой кривой и представляла собой периодическое решение.

Пуанкаре указывал, что периодичность решения можно определить с помощью сечения Пуанкаре, если показать, что кривая в конечном итоге возвращается в ту же исходную точку, в которой пересекла сечение. Следовательно, сечение Пуанкаре фазового пространства отражает важнейшие аспекты решений дифференциального уравнения (в том числе их устойчивость).

По сути, Пуанкаре считал, что в каждом сечении будет наблюдаться типичная и не слишком сложная двумерная динамика, при которой траектории могут пересекаться только в особых точках. Однако он с ужасом обнаружил, что сепаратрисы седловых точек (две траектории, которые сталкиваются в гомоклинических точках) пересекаются, но не совпадают, а представляют собой две различные кривые, которые пересекаются снова и снова, образуя своеобразную решетку с бесконечным множеством точек пересечения. Оказалось, что трехмерная динамика, проекции которой содержатся в каждом сечении, невероятно сложна.

Ошибка Пуанкаре: он считал, что нестабильная сепаратриса (та, что удаляется от седловой точки) и стабильная (та, что приближается к седловой точке) совпадают.

Таким образом, суть задачи такова: локальная структура седловой точки проста, поскольку линейна, а глобальная структура необязательно будет простой, поскольку она нелинейна. Более того, глобальная структура может быть невероятно сложной — именно поэтому возникают хаотические движения. В примере с задачей трех тел обе сепаратрисы переплетаются снова и снова бесконечное число раз. Эта гомоклиническая сеть — великое открытие Пуанкаре, фигура настолько сложная, что сам автор не осмелился ни изобразить ее, ни подробно описать. Эта сеть и вызывает хаос, а также приводит к тому, что систему нельзя описать посредством аналитических интегралов.

Гомоклиническая сеть: р — седло, Ь_>0, h_>1, h_>2…. — бесконечное множество гомоклинических точек, в которых пересекаются две сепаратрисы.

Позднее, в своем монументальном трехтомнике «Новые методы небесной механики», опубликованном в 1892–1899 годах, Пуанкаре привел первое математическое описание хаотического поведения динамической системы, связанного с гомоклиническими орбитами:

«Если попытаться представить себе фигуру, образованную этими двумя кривыми и их бесчисленными пересечениями, каждое из которых соответствует двоякоасимптотическому решению, то эти пересечения образуют нечто вроде решетки, ткани, сети с бесконечно тесными петлями. Ни одна из двух кривых никогда не должна пересечь самое себя, но она должна навиваться на самое себя очень сложным образом, чтобы пересечь бесконечно много раз все петли сети. Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трех тел».