Вопросы религиозного самопознания - страница 13

В теории групп на каждом шагу встречаются случаи, где две существенно-различные группы, которые приходится трактовать при всевозможных рассуждениях как объекты весьма разнящиеся, не могут быть различаемы в созерцании. Возьмем, например, группу точек, определяемых всевозможными числами между 0 и 1, включая сюда 0 и 1; это будет так называемая замкнутая группа. Возьмем, далее, группу точек, определяемых всевозможными числами между 0 и 1, включая сюда 0, но не включая 1; такая группа носит название незамкнутой. Обе эти группы абсолютно-неразличимы в созерцании, «на глаз»; одна имеет вид, как другая; одна, по-видимому, тождественна с другой. Но, на самом деле, между ними есть очень важная разница, которая радикально различает свойства групп. Первая группа, замкнутая, имеет, так сказать, окончания; точки 0 и 1 являются для нее крайними точками, так что нет ни одной точки группы, которая лежала бы правее, чем точка 1, и нет такой, которая лежала бы левее точки 0. То же самое можно сказать и о левом конце второй группы, незамкнутой; но не так обстоит дело с правым концом этой группы; тут конца в собственном смысле нет; нет последней точки, крайней. Какую бы далеко стоящую точку мы ни взяли, непременно найдется другая, еще дальше ее стоящая; а последней все-таки нет. Мы можем как угодно близко подходить к точке 1, которая не относится к нашей незамкнутой группе, и все-таки никогда точки 1 достигнуть не сможем, потому что, если мы станем в точку 1, то выйдем из пределов группы, а если не станем еще в нее и будем слева от нее, то всегда имеем возможность подойти ближе. У замкнутой группы, так сказать, обтаял кончик, сточилась последняя точка, и получилась группа незамкнутая. Это изменение, невидимое и неощутимое, однако, произвело существенное изменение в свойствах, в структуре группы, и тот, кто занимался теорией групп, хорошо знает, как серьезны эти изменения структуры и как тщательно надо различать группу замкнутую от незамкнутой. У последней не хватает какого-то «чуть-чуть», с появлением которого она бы перешла в группу замкнутую. Но отсутствие этого «чуть-чуть» имеет для сущности группы, может быть, большее значение, чем в области эстетики то «чуть-чуть», с которого начинается искусство.

Приведу еще один пример. Если мы возьмем совокупность всех точек промежутка 0–1, включая сюда и пределы 0 и 1, то, как известно, она имеет своими соответственными числами совокупность всех иррациональных и рациональных чисел, которые не меньше 0 и не больше 1. Такая группа точек принадлежит к типу так называемых совершенных групп. Каждому мыслимому числу, рациональному или иррациональному – безразлично, соответствует точка группы, и, наоборот, каждой точке группы соответствует рациональное или иррациональное число, которое меньше 0 и не больше

1. Возьмем теперь между теми же пределами О и 1 другую группу точек – группу рациональных точек; каждой точке этой группы непременно соответствует число, заключающееся между 0 и 1; но сказать наоборот никак нельзя: не всякому числу соответствует точка группы и, если мы берем число иррациональное, то соответствующей ему точки не существует. В соответственном месте отрезка – носителя группы – группа имеет изъян, пробел. Так как между каждыми двумя рациональными числами существует бесконечное множество иррациональных, то в каждом отделе группы нашей существует бесконечное множество изъянов; вся группа разъедена, изгрызена. Однако эта источенность группы имеет одно замечательное свойство: дело в том, что между любою парою рациональных чисел, как бы ни разнились они мало, существует не только бесконечное множество иррациональных промежуточных, но и бесконечное множество рациональных же промежуточных. Другими словами, какой бы малый кусочек нашего прямолинейного отрезка мы ни взяли, он непременно окажется начиненным бесконечным множеством точек группы. За это свойство группа наша может быть отнесена к типу групп «всюду-плотных». Итак, с одной стороны, мы имеем сказанную всюду – плотную группу, а с другой – группу совершенную