Жемчужина Эйлера - страница 6

. Неформально говоря, невозможно причесать свернувшегося клубком ежа, так чтобы у него не торчала ни одна иголка. В главе 19 мы увидим, как эйлерова характеристика позволяет доказать это смелое утверждение.

Рис. I.6. Всегда ли на поверхности Земли существует точка, в которой не дует ветер?

На рис. I.7 изображен многоугольник, все вершины которого находятся в узлах равномерной сетки, отстоящих друг от друга на единичное расстояние. Удивительно, но мы можем точно вычислить площадь этого многоугольника, просто подсчитав количество точек. В главе 13 мы увидим, что формула Эйлера позволяет вывести элегантную формулу, выражающую площадь многоугольника через количество точек на его границе (B) и количество точек внутри (I):

Площадь = I + B/2 – 1.

Рис. I.7. Можно ли определить площадь закрашенного многоугольника путем подсчета точек?

Согласно этой формуле, площадь показанного многоугольника равна 5 + 10/2 – 1 = 9.

Существует старая и интересная задача о том, сколько цветов необходимо для раскрашивания карты таким образом, что любые два области, имеющие общую границу, раскрашены в разные цвета. Возьмите чистую карту США и попробуйте раскрасить ее, используя как можно меньше цветных карандашей. Очень скоро вы обнаружите, что для большей части карты достаточно всего трех карандашей, но, чтобы завершить краску, понадобится четвертый цвет. Например, штат Невада окружен нечетным числом штатов, поэтому для их раскраски нужно три карандаша, но тогда для самой Невады потребуется четвертый карандаш (рис. I.8). При умном подходе можно обойтись без пятого карандаша — четырех цветов достаточно для раскраски всей карты США. Уже давно предполагалось, что любую карту можно раскрасить в четыре цвета или меньше. Эта знаменитая гипотеза, которая никак не поддавалась усилиям математиков, получила название проблемы четырех красок. В главе 14 мы подробно расскажем эту увлекательную историю; в 1976 году она закончилась вызвавшим много споров доказательством, в котором эйлерова характеристика сыграла ключевую роль.

Графит и алмаз — два материала, состоящие только из атомов углерода. В 1985 года трое ученых — Роберт Кёрл, Ричард Смолли и Харольд Крото — шокировали научное сообщество, открыв новый класс молекул, состоящих только из углерода. Они назвали их фуллеренами в честь архитектора Бакминстера Фуллера, изобретателя геодезического купола (рис. I.9). Такое название было выбрано, потому что фуллерены представляют собой большие молекулы в форме многогранников, напоминающих эту конструкцию. За открытие фуллеренов все трое были удостоены Нобелевской премии по химии за 1996 год. В фуллерене каждый атом углерода связан ровно с тремя соседями, так что образуются пятиугольные и шестиугольные кольца атомов. Первоначально Кёрл, Смолли и Крото обнаружили фуллерены, составленные из 60 и 70 атомов углерода, но затем были открыты и другие. Самую красивую молекулу фуллерена, C_>60, имеющую форму футбольного мяча, она назвали бакминстерфуллереном. Поразительно, что, ничего не зная о химии, а располагая только формулой Эйлера, мы можем утверждать, что некоторые конфигурации атомов углерода не могут встречаться в фуллеренах. Например, фуллерен любого размера должен иметь ровно 12 пятиугольных углеродных колец, хотя количество шестиугольных колец может разниться.

Рис. I.8. Можно ли раскрасить карту США в четыре цвета?

Рис. I.9. Молекула бакминстерфуллерена С_>60

Тысячи лет люди рисуют красивые и манящие правильные многогранники, гранями которых являются правильные многоугольники (рис. I.10). Греки знали пять таких тел, Платон включил их в свою атомистическую теорию, а Кеплер положил их в основу ранней модели Солнечной системы. Тайна, окружавшая эти пять многогранников, отчасти связана с тем, что их так мало, — больше ни один многогранник не удовлетворяет строгим критериям правильности. Одно из самых элегантных применений формулы Эйлера — очень короткое доказательство этого факта.

Рис. I.10. Пять правильных многогранников

Несмотря на свою важность и красоту, формула Эйлера практически неизвестна широкой публике. Ее нет в стандартном школьном курсе математики. Некоторые старшеклассники знают формулу Эйлера, но большая часть студентов, изучающих математику, встречаются с ней только в колледже.