Жемчужина Эйлера - страница 7

Математическая слава — странная вещь. Некоторые теоремы хорошо известны, потому что вколочены в головы школьников: теорема Пифагора, формула корней квадратного уравнения, основная теорема математического анализа. Другие результаты оказываются на слуху, поскольку решают знаменитую задачу. Великая теорема Ферма оставалась недоказанной в течение трехсот лет, пока в 1993 году Эндрю Уайлс не удивил мир своим доказательством. Проблема четырех красок была поставлена в 1853 году, а доказана Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном в 1976 году. Знаменитая гипотеза Пуанкаре была выдвинута в 1904 году и вошла в число семи проблем тысячелетия по версии Института математики Клэя, который счел их настолько важными, что математику, решившему любую из них, была обещана награда в размере миллиона долларов. Эта сумма была присуждена Григорию Перельману, предложившему доказательство гипотезы Пуанкаре в 2002 году. Некоторые математические факты хорошо известны в силу своего междисциплинарного характера (последовательность чисел Фибоначчи в природе) или исторической значимости (бесконечность множества простых чисел, иррациональность числа π).

Формула Эйлера должна быть известна так же хорошо, как эти великие теоремы. У нее красочная история, а в теорию внесли вклад многие величайшие математики. Это глубокая теорема, и понимание всей ее глубины только возрастает по мере развития математики.

Книга, которую вы держите в руках, — рассказ о красивой теореме Эйлера. Мы проследим ее историю и покажем, как она перебрасывает мост между многогранниками древних греков и современной топологией. Мы расскажем о многих обличьях, под которыми скрывается формула Эйлера в геометрии, топологии и динамических системах. Мы также приведем примеры теорем, доказательства которых основаны на формуле Эйлера. Мы увидим, почему эта долгое время остававшаяся незамеченной формула стала одной из самых уважаемых теорем в математике.

Приложения к главе

2. Quoted in Machamer (1998).

3. Juskevic and Winter (1965), 333.

Читайте, читайте Эйлера — он наш общий учитель.

— Пьер-Симон Лаплас^>4

Мы привыкли к гиперболам. Телевизионная реклама, рекламные щиты, спортивные комментаторы, популярные музыканты регулярно извергают такие эпитеты, как величайший, лучший, ярчайший, быстрейший и прочее. Эти слова давно уже утратили свое буквальное значение и используются как естественная часть продвижения товара или развлечения зрителя. Поэтому слова о том, что Леонард Эйлер был одним из самых влиятельных и плодовитых математиков, когда-либо рождавшихся на свет, могут не произвести никакого впечатления на читателя. Но мы ничего не преувеличиваем. Эйлер наряду с Архимедом (287–211 до н. э.), Исааком Ньютоном (1643–1727) и Карлом Фридрихом Гауссом (1777–1855) признан как один из десяти — или даже пяти — самых важных и значительных математиков в истории.

За свою 76-летнюю жизнь Эйлер написал столько математических работ, что для их печати потребовалось семьдесят четыре весьма объемистых тома, — больше, чем любой другой математик. Когда все его работы были опубликованы (а новые материалы обнаруживались в течение 79 лет после его смерти), оказалось, что он автор ошеломительных 866 трудов, включая статьи и книги по самым передовым предметам, элементарные учебники, научно-популярные работы и технические руководства. И сюда еще не включены предположительно пятнадцать томов писем и записных книжек, которые все еще готовятся к печати.

Но значимость Эйлера определяется не его плодовитостью, а глубиной основополагающих вкладов в математику. Эйлер не специализировался в какой-то одной области. Он был одним из великих универсалов, оставившим след в самых разных дисциплинах. Он опубликовал влиятельные статьи и книги по математическому анализу, теории чисел, комплексному анализу, вариационному исчислению, дифференциальным уравнениям, теории вероятностей и топологии. И это не считая вклада в такие прикладные предметы, как оптика, электричество и магнетизм, механика, гидродинамика и астрономия. Ко всему прочему Эйлер обладал чертой, редкой среди больших ученых и тогда, и в наше время: он был превосходным стилистом. В отличие от своих предшественников, Эйлер писал простым и ясным языком, благодаря чему его работы равно доступны специалистам и студентам.